Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57428 / 87158
↖ ↑ ↗
← S 50.941123°
W 22.269287°		 ← 192.41 m → S 50.941123°
W 22.266541°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
S 50.942854°
W 22.269287°		 ← 192.41 m →
37 033 m²		 S 50.942854°
W 22.266541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438144683837891 y=0.664966583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438144683837891 × 217)
    floor (0.438144683837891 × 131072)
    floor (57428.5)     		tx = 57428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664966583251953 × 217)
    floor (0.664966583251953 × 131072)
    floor (87158.5)     		ty = 87158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57428 / 87158 ti = "17/57428/87158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57428/87158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57428 ÷ 217
    57428 ÷ 131072     		x = 0.438140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87158 ÷ 217
    87158 ÷ 131072     		y = 0.664962768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.12371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38867238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664962768554688 × 2 - 1) × π
    -0.329925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03649164358485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38867238} λ = -0.38867238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03649164358485))-π/2
    2×atan(0.354696904765706)-π/2
    2×0.340853000991794-π/2
    0.681706001983587-1.57079632675     		φ = -0.88909032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38867238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.269287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88909032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.941123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57428 KachelY 87158 -0.38867238 -0.88909032 -22.269287 -50.941123
    Oben rechts KachelX + 1 57429 KachelY 87158 -0.38862445 -0.88909032 -22.266541 -50.941123
    Unten links KachelX 57428 KachelY + 1 87159 -0.38867238 -0.88912053 -22.269287 -50.942854
    Unten rechts KachelX + 1 57429 KachelY + 1 87159 -0.38862445 -0.88912053 -22.266541 -50.942854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88909032--0.88912053) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88909032--0.88912053) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38867238--0.38862445) × cos(-0.88909032) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630118652678714 × 6371000     		do = 192.414310922732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38867238--0.38862445) × cos(-0.88912053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630095194360543 × 6371000     		du = 192.407147643075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88909032)-sin(-0.88912053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630118652678714-0.630095194360543)×R²
    abs(-0.38862445--0.38867238)×2.34583181711878e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34583181711878e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34583181711878e-05×40589641000000     		ar = 37032.8909293561m²