Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57427 / 87157
↖ ↑ ↗
← S 50.939393°
W 22.272034°		 ← 192.46 m → S 50.939393°
W 22.269287°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
S 50.941123°
W 22.272034°		 ← 192.45 m →
37 030 m²		 S 50.941123°
W 22.269287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438137054443359 y=0.664958953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438137054443359 × 217)
    floor (0.438137054443359 × 131072)
    floor (57427.5)     		tx = 57427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664958953857422 × 217)
    floor (0.664958953857422 × 131072)
    floor (87157.5)     		ty = 87157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57427 / 87157 ti = "17/57427/87157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57427/87157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57427 ÷ 217
    57427 ÷ 131072     		x = 0.438133239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87157 ÷ 217
    87157 ÷ 131072     		y = 0.664955139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438133239746094 × 2 - 1) × π
    -0.123733520507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38872032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664955139160156 × 2 - 1) × π
    -0.329910278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03644370668523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38872032} λ = -0.38872032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03644370668523))-π/2
    2×atan(0.354713908243169)-π/2
    2×0.340868104240095-π/2
    0.68173620848019-1.57079632675     		φ = -0.88906012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38872032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.272034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88906012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.939393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57427 KachelY 87157 -0.38872032 -0.88906012 -22.272034 -50.939393
    Oben rechts KachelX + 1 57428 KachelY 87157 -0.38867238 -0.88906012 -22.269287 -50.939393
    Unten links KachelX 57427 KachelY + 1 87158 -0.38872032 -0.88909032 -22.272034 -50.941123
    Unten rechts KachelX + 1 57428 KachelY + 1 87158 -0.38867238 -0.88909032 -22.269287 -50.941123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88906012--0.88909032) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88906012--0.88909032) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38872032--0.38867238) × cos(-0.88906012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630142102657013 × 6371000     		do = 192.461618009271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38872032--0.38867238) × cos(-0.88909032) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630118652678714 × 6371000     		du = 192.454455782296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88906012)-sin(-0.88909032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630142102657013-0.630118652678714)×R²
    abs(-0.38867238--0.38872032)×2.34499782988395e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34499782988395e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34499782988395e-05×40589641000000     		ar = 37029.7346252661m²