Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57425 / 18286
↖ ↑ ↗
← N 78.144654°
W 22.277527°		 ← 62.73 m → N 78.144654°
W 22.274781°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.144090°
W 22.277527°		 ← 62.74 m →
3 937 m²		 N 78.144090°
W 22.274781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438121795654297 y=0.139514923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438121795654297 × 217)
    floor (0.438121795654297 × 131072)
    floor (57425.5)     		tx = 57425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139514923095703 × 217)
    floor (0.139514923095703 × 131072)
    floor (18286.5)     		ty = 18286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57425 / 18286 ti = "17/57425/18286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57425/18286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57425 ÷ 217
    57425 ÷ 131072     		x = 0.438117980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18286 ÷ 217
    18286 ÷ 131072     		y = 0.139511108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438117980957031 × 2 - 1) × π
    -0.123764038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38881619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139511108398438 × 2 - 1) × π
    0.720977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26501850704765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38881619} λ = -0.38881619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26501850704765))-π/2
    2×atan(9.63130284644162)-π/2
    2×1.46733891759563-π/2
    2.93467783519126-1.57079632675     		φ = 1.36388151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38881619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.277527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36388151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.144654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57425 KachelY 18286 -0.38881619 1.36388151 -22.277527 78.144654
    Oben rechts KachelX + 1 57426 KachelY 18286 -0.38876826 1.36388151 -22.274781 78.144654
    Unten links KachelX 57425 KachelY + 1 18287 -0.38881619 1.36387166 -22.277527 78.144090
    Unten rechts KachelX + 1 57426 KachelY + 1 18287 -0.38876826 1.36387166 -22.274781 78.144090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36388151-1.36387166) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36388151-1.36387166) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38881619--0.38876826) × cos(1.36388151) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205441507983786 × 6371000     		do = 62.7340359242285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38881619--0.38876826) × cos(1.36387166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205451147867371 × 6371000     		du = 62.7369795786489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36388151)-sin(1.36387166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205441507983786-0.205451147867371)×R²
    abs(-0.38876826--0.38881619)×9.63988358473888e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63988358473888e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63988358473888e-06×40589641000000     		ar = 3936.92601085321m²