Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57424 / 85233
↖ ↑ ↗
← S 47.489369°
W 22.280273°		 ← 206.38 m → S 47.489369°
W 22.277527°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.491225°
W 22.280273°		 ← 206.38 m →
42 588 m²		 S 47.491225°
W 22.277527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438114166259766 y=0.650279998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438114166259766 × 217)
    floor (0.438114166259766 × 131072)
    floor (57424.5)     		tx = 57424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650279998779297 × 217)
    floor (0.650279998779297 × 131072)
    floor (85233.5)     		ty = 85233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57424 / 85233 ti = "17/57424/85233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57424/85233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57424 ÷ 217
    57424 ÷ 131072     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85233 ÷ 217
    85233 ÷ 131072     		y = 0.650276184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650276184082031 × 2 - 1) × π
    -0.300552368164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.944213111816246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944213111816246))-π/2
    2×atan(0.388985538628769)-π/2
    2×0.370975239196874-π/2
    0.741950478393748-1.57079632675     		φ = -0.82884585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82884585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.489369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57424 KachelY 85233 -0.38886413 -0.82884585 -22.280273 -47.489369
    Oben rechts KachelX + 1 57425 KachelY 85233 -0.38881619 -0.82884585 -22.277527 -47.489369
    Unten links KachelX 57424 KachelY + 1 85234 -0.38886413 -0.82887824 -22.280273 -47.491225
    Unten rechts KachelX + 1 57425 KachelY + 1 85234 -0.38881619 -0.82887824 -22.277527 -47.491225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82884585--0.82887824) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82884585--0.82887824) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38881619) × cos(-0.82884585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675726993885949 × 6371000     		do = 206.384417145456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38881619) × cos(-0.82887824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675703117179125 × 6371000     		du = 206.377124584606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82884585)-sin(-0.82887824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675726993885949-0.675703117179125)×R²
    abs(-0.38881619--0.38886413)×2.38767068235779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38767068235779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38767068235779e-05×40589641000000     		ar = 42588.052759263m²