Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57424 / 84742
↖ ↑ ↗
← S 46.570191°
W 22.280273°		 ← 209.97 m → S 46.570191°
W 22.277527°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
S 46.572079°
W 22.280273°		 ← 209.96 m →
44 077 m²		 S 46.572079°
W 22.277527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438114166259766 y=0.646533966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438114166259766 × 217)
    floor (0.438114166259766 × 131072)
    floor (57424.5)     		tx = 57424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646533966064453 × 217)
    floor (0.646533966064453 × 131072)
    floor (84742.5)     		ty = 84742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57424 / 84742 ti = "17/57424/84742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57424/84742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57424 ÷ 217
    57424 ÷ 131072     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84742 ÷ 217
    84742 ÷ 131072     		y = 0.646530151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646530151367188 × 2 - 1) × π
    -0.293060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.920676094102798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920676094102798))-π/2
    2×atan(0.398249695772632)-π/2
    2×0.378996584063826-π/2
    0.757993168127653-1.57079632675     		φ = -0.81280316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81280316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.570191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57424 KachelY 84742 -0.38886413 -0.81280316 -22.280273 -46.570191
    Oben rechts KachelX + 1 57425 KachelY 84742 -0.38881619 -0.81280316 -22.277527 -46.570191
    Unten links KachelX 57424 KachelY + 1 84743 -0.38886413 -0.81283611 -22.280273 -46.572079
    Unten rechts KachelX + 1 57425 KachelY + 1 84743 -0.38881619 -0.81283611 -22.277527 -46.572079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81280316--0.81283611) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81280316--0.81283611) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38881619) × cos(-0.81280316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		do = 209.96963885448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38881619) × cos(-0.81283611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687441504612084 × 6371000     		du = 209.962330252722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81280316)-sin(-0.81283611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687465433838738-0.687441504612084)×R²
    abs(-0.38881619--0.38886413)×2.39292266536184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39292266536184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39292266536184e-05×40589641000000     		ar = 44076.9938301129m²