Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57422 / 84748
↖ ↑ ↗
← S 46.581519°
W 22.285766°		 ← 209.88 m → S 46.581519°
W 22.283020°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
S 46.583406°
W 22.285766°		 ← 209.87 m →
44 059 m²		 S 46.583406°
W 22.283020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438098907470703 y=0.646579742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438098907470703 × 217)
    floor (0.438098907470703 × 131072)
    floor (57422.5)     		tx = 57422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646579742431641 × 217)
    floor (0.646579742431641 × 131072)
    floor (84748.5)     		ty = 84748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57422 / 84748 ti = "17/57422/84748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57422/84748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57422 ÷ 217
    57422 ÷ 131072     		x = 0.438095092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84748 ÷ 217
    84748 ÷ 131072     		y = 0.646575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438095092773438 × 2 - 1) × π
    -0.123809814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38896000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.29315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920963715500519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38896000} λ = -0.38896000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920963715500519))-π/2
    2×atan(0.398135167109729)-π/2
    2×0.37889772950436-π/2
    0.75779545900872-1.57079632675     		φ = -0.81300087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38896000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.285766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81300087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.581519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57422 KachelY 84748 -0.38896000 -0.81300087 -22.285766 -46.581519
    Oben rechts KachelX + 1 57423 KachelY 84748 -0.38891207 -0.81300087 -22.283020 -46.581519
    Unten links KachelX 57422 KachelY + 1 84749 -0.38896000 -0.81303382 -22.285766 -46.583406
    Unten rechts KachelX + 1 57423 KachelY + 1 84749 -0.38891207 -0.81303382 -22.283020 -46.583406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81300087--0.81303382) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81300087--0.81303382) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38896000--0.38891207) × cos(-0.81300087) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.687321840020452 × 6371000     		do = 209.881992331866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38896000--0.38891207) × cos(-0.81303382) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68729790631582 × 6371000     		du = 209.874683887234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81300087)-sin(-0.81303382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687321840020452-0.68729790631582)×R²
    abs(-0.38891207--0.38896000)×2.39337046320509e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39337046320509e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39337046320509e-05×40589641000000     		ar = 44058.5946987635m²