Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57421 / 85236
↖ ↑ ↗
← S 47.494937°
W 22.288513°		 ← 206.36 m → S 47.494937°
W 22.285766°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.496792°
W 22.288513°		 ← 206.36 m →
42 584 m²		 S 47.496792°
W 22.285766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438091278076172 y=0.650302886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438091278076172 × 217)
    floor (0.438091278076172 × 131072)
    floor (57421.5)     		tx = 57421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650302886962891 × 217)
    floor (0.650302886962891 × 131072)
    floor (85236.5)     		ty = 85236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57421 / 85236 ti = "17/57421/85236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57421/85236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57421 ÷ 217
    57421 ÷ 131072     		x = 0.438087463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85236 ÷ 217
    85236 ÷ 131072     		y = 0.650299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438087463378906 × 2 - 1) × π
    -0.123825073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38900794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.30059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944356922515106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38900794} λ = -0.38900794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944356922515106))-π/2
    2×atan(0.388929602368825)-π/2
    2×0.370926653386596-π/2
    0.741853306773191-1.57079632675     		φ = -0.82894302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38900794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.288513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82894302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.494937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57421 KachelY 85236 -0.38900794 -0.82894302 -22.288513 -47.494937
    Oben rechts KachelX + 1 57422 KachelY 85236 -0.38896000 -0.82894302 -22.285766 -47.494937
    Unten links KachelX 57421 KachelY + 1 85237 -0.38900794 -0.82897541 -22.288513 -47.496792
    Unten rechts KachelX + 1 57422 KachelY + 1 85237 -0.38896000 -0.82897541 -22.285766 -47.496792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82894302--0.82897541) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82894302--0.82897541) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38900794--0.38896000) × cos(-0.82894302) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675655361638838 × 6371000     		do = 206.362538813613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38900794--0.38896000) × cos(-0.82897541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675631482805424 × 6371000     		du = 206.355245603248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82894302)-sin(-0.82897541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675655361638838-0.675631482805424)×R²
    abs(-0.38896000--0.38900794)×2.38788334134821e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38788334134821e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38788334134821e-05×40589641000000     		ar = 42583.5379518997m²