Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57420 / 87156
↖ ↑ ↗
← S 50.937662°
W 22.291260°		 ← 192.47 m → S 50.937662°
W 22.288513°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
S 50.939393°
W 22.291260°		 ← 192.46 m →
37 043 m²		 S 50.939393°
W 22.288513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438083648681641 y=0.664951324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438083648681641 × 217)
    floor (0.438083648681641 × 131072)
    floor (57420.5)     		tx = 57420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664951324462891 × 217)
    floor (0.664951324462891 × 131072)
    floor (87156.5)     		ty = 87156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57420 / 87156 ti = "17/57420/87156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57420/87156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57420 ÷ 217
    57420 ÷ 131072     		x = 0.438079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87156 ÷ 217
    87156 ÷ 131072     		y = 0.664947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.12384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38905588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.32989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03639576978561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38905588} λ = -0.38905588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03639576978561))-π/2
    2×atan(0.354730912535745)-π/2
    2×0.34088320805058-π/2
    0.68176641610116-1.57079632675     		φ = -0.88902991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38905588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.291260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88902991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.937662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57420 KachelY 87156 -0.38905588 -0.88902991 -22.291260 -50.937662
    Oben rechts KachelX + 1 57421 KachelY 87156 -0.38900794 -0.88902991 -22.288513 -50.937662
    Unten links KachelX 57420 KachelY + 1 87157 -0.38905588 -0.88906012 -22.291260 -50.939393
    Unten rechts KachelX + 1 57421 KachelY + 1 87157 -0.38900794 -0.88906012 -22.288513 -50.939393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88902991--0.88906012) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88902991--0.88906012) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38905588--0.38900794) × cos(-0.88902991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630165559825205 × 6371000     		do = 192.468782432224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38905588--0.38900794) × cos(-0.88906012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630142102657013 × 6371000     		du = 192.461618009271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88902991)-sin(-0.88906012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630165559825205-0.630142102657013)×R²
    abs(-0.38900794--0.38905588)×2.34571681919649e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34571681919649e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34571681919649e-05×40589641000000     		ar = 37043.3748372801m²