Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57420 / 84444
↖ ↑ ↗
← S 46.004593°
W 22.291260°		 ← 212.15 m → S 46.004593°
W 22.288513°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
S 46.006501°
W 22.291260°		 ← 212.14 m →
45 008 m²		 S 46.006501°
W 22.288513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438083648681641 y=0.644260406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438083648681641 × 217)
    floor (0.438083648681641 × 131072)
    floor (57420.5)     		tx = 57420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644260406494141 × 217)
    floor (0.644260406494141 × 131072)
    floor (84444.5)     		ty = 84444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57420 / 84444 ti = "17/57420/84444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57420/84444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57420 ÷ 217
    57420 ÷ 131072     		x = 0.438079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84444 ÷ 217
    84444 ÷ 131072     		y = 0.644256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.12384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38905588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.28851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.906390898016022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38905588} λ = -0.38905588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906390898016022))-π/2
    2×atan(0.403979599729086)-π/2
    2×0.383932351729683-π/2
    0.767864703459367-1.57079632675     		φ = -0.80293162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38905588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.291260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80293162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.004593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57420 KachelY 84444 -0.38905588 -0.80293162 -22.291260 -46.004593
    Oben rechts KachelX + 1 57421 KachelY 84444 -0.38900794 -0.80293162 -22.288513 -46.004593
    Unten links KachelX 57420 KachelY + 1 84445 -0.38905588 -0.80296492 -22.291260 -46.006501
    Unten rechts KachelX + 1 57421 KachelY + 1 84445 -0.38900794 -0.80296492 -22.288513 -46.006501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80293162--0.80296492) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dl = 212.154300000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80293162--0.80296492) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dr = 212.154300000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38905588--0.38900794) × cos(-0.80293162) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694600703011847 × 6371000     		do = 212.14893372202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38905588--0.38900794) × cos(-0.80296492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694576746757093 × 6371000     		du = 212.141616865184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80293162)-sin(-0.80296492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694600703011847-0.694576746757093)×R²
    abs(-0.38900794--0.38905588)×2.39562547532657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39562547532657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39562547532657e-05×40589641000000     		ar = 45007.5323823566m²