Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57419 / 84741
↖ ↑ ↗
← S 46.568302°
W 22.294006°		 ← 209.93 m → S 46.568302°
W 22.291260°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 46.570191°
W 22.294006°		 ← 209.93 m →
44 083 m²		 S 46.570191°
W 22.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438076019287109 y=0.646526336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438076019287109 × 217)
    floor (0.438076019287109 × 131072)
    floor (57419.5)     		tx = 57419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646526336669922 × 217)
    floor (0.646526336669922 × 131072)
    floor (84741.5)     		ty = 84741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57419 / 84741 ti = "17/57419/84741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57419/84741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57419 ÷ 217
    57419 ÷ 131072     		x = 0.438072204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84741 ÷ 217
    84741 ÷ 131072     		y = 0.646522521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438072204589844 × 2 - 1) × π
    -0.123855590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38910381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646522521972656 × 2 - 1) × π
    -0.293045043945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.920628157203178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38910381} λ = -0.38910381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920628157203178))-π/2
    2×atan(0.398268787085908)-π/2
    2×0.379013061831409-π/2
    0.758026123662818-1.57079632675     		φ = -0.81277020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38910381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.294006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81277020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.568302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57419 KachelY 84741 -0.38910381 -0.81277020 -22.294006 -46.568302
    Oben rechts KachelX + 1 57420 KachelY 84741 -0.38905588 -0.81277020 -22.291260 -46.568302
    Unten links KachelX 57419 KachelY + 1 84742 -0.38910381 -0.81280316 -22.294006 -46.570191
    Unten rechts KachelX + 1 57420 KachelY + 1 84742 -0.38905588 -0.81280316 -22.291260 -46.570191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81277020--0.81280316) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81277020--0.81280316) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38910381--0.38905588) × cos(-0.81277020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.687489369580953 × 6371000     		do = 209.933149498545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38910381--0.38905588) × cos(-0.81280316) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		du = 209.925840431713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81277020)-sin(-0.81280316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687489369580953-0.687465433838738)×R²
    abs(-0.38905588--0.38910381)×2.39357422150421e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39357422150421e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39357422150421e-05×40589641000000     		ar = 44082.7083814852m²