Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57418 / 84754
↖ ↑ ↗
← S 46.592844°
W 22.296753°		 ← 209.88 m → S 46.592844°
W 22.294006°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 46.594732°
W 22.296753°		 ← 209.87 m →
44 045 m²		 S 46.594732°
W 22.294006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438068389892578 y=0.646625518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438068389892578 × 217)
    floor (0.438068389892578 × 131072)
    floor (57418.5)     		tx = 57418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646625518798828 × 217)
    floor (0.646625518798828 × 131072)
    floor (84754.5)     		ty = 84754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57418 / 84754 ti = "17/57418/84754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57418/84754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57418 ÷ 217
    57418 ÷ 131072     		x = 0.438064575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84754 ÷ 217
    84754 ÷ 131072     		y = 0.646621704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438064575195312 × 2 - 1) × π
    -0.123870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38915175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646621704101562 × 2 - 1) × π
    -0.293243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.921251336898239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38915175} λ = -0.38915175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921251336898239))-π/2
    2×atan(0.398020671382983)-π/2
    2×0.378798895594903-π/2
    0.757597791189806-1.57079632675     		φ = -0.81319854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38915175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.296753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81319854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.592844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57418 KachelY 84754 -0.38915175 -0.81319854 -22.296753 -46.592844
    Oben rechts KachelX + 1 57419 KachelY 84754 -0.38910381 -0.81319854 -22.294006 -46.592844
    Unten links KachelX 57418 KachelY + 1 84755 -0.38915175 -0.81323148 -22.296753 -46.594732
    Unten rechts KachelX + 1 57419 KachelY + 1 84755 -0.38910381 -0.81323148 -22.294006 -46.594732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81319854--0.81323148) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81319854--0.81323148) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38915175--0.38910381) × cos(-0.81319854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.687178248394829 × 6371000     		do = 209.881925028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38915175--0.38910381) × cos(-0.81323148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.687154317479175 × 6371000     		du = 209.874615910377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81319854)-sin(-0.81323148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687178248394829-0.687154317479175)×R²
    abs(-0.38910381--0.38915175)×2.39309156543355e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39309156543355e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39309156543355e-05×40589641000000     		ar = 44045.2091546097m²