Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57417 / 29852
↖ ↑ ↗
← N 69.507612°
W 22.299500°		 ← 106.92 m → N 69.507612°
W 22.296753°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 69.506650°
W 22.299500°		 ← 106.93 m →
11 431 m²		 N 69.506650°
W 22.296753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438060760498047 y=0.227756500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438060760498047 × 217)
    floor (0.438060760498047 × 131072)
    floor (57417.5)     		tx = 57417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227756500244141 × 217)
    floor (0.227756500244141 × 131072)
    floor (29852.5)     		ty = 29852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57417 / 29852 ti = "17/57417/29852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57417/29852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57417 ÷ 217
    57417 ÷ 131072     		x = 0.438056945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29852 ÷ 217
    29852 ÷ 131072     		y = 0.227752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438056945800781 × 2 - 1) × π
    -0.123886108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38919969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227752685546875 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38919969} λ = -0.38919969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71058032604208))-π/2
    2×atan(5.53217100915244)-π/2
    2×1.3919665027835-π/2
    2.78393300556701-1.57079632675     		φ = 1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38919969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.299500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57417 KachelY 29852 -0.38919969 1.21313668 -22.299500 69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 57418 KachelY 29852 -0.38915175 1.21313668 -22.296753 69.507612
    Unten links KachelX 57417 KachelY + 1 29853 -0.38919969 1.21311990 -22.299500 69.506650
    Unten rechts KachelX + 1 57418 KachelY + 1 29853 -0.38915175 1.21311990 -22.296753 69.506650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21313668-1.21311990) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dl = 106.905380001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21313668-1.21311990) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dr = 106.905380001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38919969--0.38915175) × cos(1.21313668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 106.924341437337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38919969--0.38915175) × cos(1.21311990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350098659487114 × 6371000     		du = 106.92914214679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21313668)-sin(1.21311990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350098659487114)×R²
    abs(-0.38915175--0.38919969)×1.57180905996923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57180905996923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57180905996923e-05×40589641000000     		ar = 11431.0439639118m²