Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57416 / 9141
↖ ↑ ↗
← N 78.146911°
E135.395508°		 ← 125.47 m → N 78.146911°
E135.401001°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
N 78.145782°
E135.395508°		 ← 125.48 m →
15 748 m²		 N 78.145782°
E135.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876106262207031 y=0.139488220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876106262207031 × 216)
    floor (0.876106262207031 × 65536)
    floor (57416.5)     		tx = 57416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139488220214844 × 216)
    floor (0.139488220214844 × 65536)
    floor (9141.5)     		ty = 9141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57416 / 9141 ti = "16/57416/9141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57416/9141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57416 ÷ 216
    57416 ÷ 65536     		x = 0.8760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9141 ÷ 216
    9141 ÷ 65536     		y = 0.139480590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8760986328125 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36309740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139480590820312 × 2 - 1) × π
    0.721038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26521025464613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36309740} λ = 2.36309740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26521025464613))-π/2
    2×atan(9.63314980270172)-π/2
    2×1.46735861220569-π/2
    2.93471722441138-1.57079632675     		φ = 1.36392090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36309740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36392090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.146911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57416 KachelY 9141 2.36309740 1.36392090 135.395508 78.146911
    Oben rechts KachelX + 1 57417 KachelY 9141 2.36319328 1.36392090 135.401001 78.146911
    Unten links KachelX 57416 KachelY + 1 9142 2.36309740 1.36390120 135.395508 78.145782
    Unten rechts KachelX + 1 57417 KachelY + 1 9142 2.36319328 1.36390120 135.401001 78.145782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36392090-1.36390120) × R
    1.97000000001779e-05 × 6371000     		dl = 125.508700001133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36392090-1.36390120) × R
    1.97000000001779e-05 × 6371000     		dr = 125.508700001133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36309740-2.36319328) × cos(1.36392090) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205402958036906 × 6371000     		do = 125.47070091314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36309740-2.36319328) × cos(1.36390120) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205422237943554 × 6371000     		du = 125.48247807265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36392090)-sin(1.36390120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205402958036906-0.205422237943554)×R²
    abs(2.36319328-2.36309740)×1.92799066481841e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92799066481841e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92799066481841e-05×40589641000000     		ar = 15748.4036282137m²