Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57416 / 85594
↖ ↑ ↗
← S 48.155093°
W 22.302246°		 ← 203.71 m → S 48.155093°
W 22.299500°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 48.156925°
W 22.302246°		 ← 203.70 m →
41 504 m²		 S 48.156925°
W 22.299500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438053131103516 y=0.653034210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438053131103516 × 217)
    floor (0.438053131103516 × 131072)
    floor (57416.5)     		tx = 57416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653034210205078 × 217)
    floor (0.653034210205078 × 131072)
    floor (85594.5)     		ty = 85594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57416 / 85594 ti = "17/57416/85594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57416/85594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57416 ÷ 217
    57416 ÷ 131072     		x = 0.43804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85594 ÷ 217
    85594 ÷ 131072     		y = 0.653030395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38924762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653030395507812 × 2 - 1) × π
    -0.306060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.961518332579086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38924762} λ = -0.38924762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961518332579086))-π/2
    2×atan(0.382311968356709)-π/2
    2×0.365165702447035-π/2
    0.73033140489407-1.57079632675     		φ = -0.84046492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38924762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84046492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.155093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57416 KachelY 85594 -0.38924762 -0.84046492 -22.302246 -48.155093
    Oben rechts KachelX + 1 57417 KachelY 85594 -0.38919969 -0.84046492 -22.299500 -48.155093
    Unten links KachelX 57416 KachelY + 1 85595 -0.38924762 -0.84049690 -22.302246 -48.156925
    Unten rechts KachelX + 1 57417 KachelY + 1 85595 -0.38919969 -0.84049690 -22.299500 -48.156925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84046492--0.84049690) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84046492--0.84049690) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.84046492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		do = 203.712065248906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.84049690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66709273028873 × 6371000     		du = 203.704790319334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84046492)-sin(-0.84049690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667116554238197-0.66709273028873)×R²
    abs(-0.38919969--0.38924762)×2.38239494672055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38239494672055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38239494672055e-05×40589641000000     		ar = 41504.4880649172m²