Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57416 / 84755
↖ ↑ ↗
← S 46.594732°
W 22.302246°		 ← 209.83 m → S 46.594732°
W 22.299500°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 46.596619°
W 22.302246°		 ← 209.82 m →
44 034 m²		 S 46.596619°
W 22.299500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438053131103516 y=0.646633148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438053131103516 × 217)
    floor (0.438053131103516 × 131072)
    floor (57416.5)     		tx = 57416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646633148193359 × 217)
    floor (0.646633148193359 × 131072)
    floor (84755.5)     		ty = 84755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57416 / 84755 ti = "17/57416/84755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57416/84755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57416 ÷ 217
    57416 ÷ 131072     		x = 0.43804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84755 ÷ 217
    84755 ÷ 131072     		y = 0.646629333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38924762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646629333496094 × 2 - 1) × π
    -0.293258666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.921299273797859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38924762} λ = -0.38924762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921299273797859))-π/2
    2×atan(0.39800159196332)-π/2
    2×0.378782425284268-π/2
    0.757564850568537-1.57079632675     		φ = -0.81323148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38924762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81323148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.594732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57416 KachelY 84755 -0.38924762 -0.81323148 -22.302246 -46.594732
    Oben rechts KachelX + 1 57417 KachelY 84755 -0.38919969 -0.81323148 -22.299500 -46.594732
    Unten links KachelX 57416 KachelY + 1 84756 -0.38924762 -0.81326442 -22.302246 -46.596619
    Unten rechts KachelX + 1 57417 KachelY + 1 84756 -0.38919969 -0.81326442 -22.299500 -46.596619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81323148--0.81326442) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81323148--0.81326442) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.81323148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687154317479175 × 6371000     		do = 209.830837308834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.81326442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687130385817928 × 6371000     		du = 209.823529488174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81323148)-sin(-0.81326442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687154317479175-0.687130385817928)×R²
    abs(-0.38919969--0.38924762)×2.39316612468121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39316612468121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39316612468121e-05×40589641000000     		ar = 44034.4879839178m²