Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57416 / 81110
↖ ↑ ↗
← S 39.279042°
W 22.302246°		 ← 236.37 m → S 39.279042°
W 22.299500°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
S 39.281168°
W 22.302246°		 ← 236.36 m →
55 869 m²		 S 39.281168°
W 22.299500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438053131103516 y=0.618824005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438053131103516 × 217)
    floor (0.438053131103516 × 131072)
    floor (57416.5)     		tx = 57416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618824005126953 × 217)
    floor (0.618824005126953 × 131072)
    floor (81110.5)     		ty = 81110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57416 / 81110 ti = "17/57416/81110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57416/81110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57416 ÷ 217
    57416 ÷ 131072     		x = 0.43804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81110 ÷ 217
    81110 ÷ 131072     		y = 0.618820190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38924762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618820190429688 × 2 - 1) × π
    -0.237640380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.746569274682755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38924762} λ = -0.38924762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746569274682755))-π/2
    2×atan(0.473989895662141)-π/2
    2×0.442623859362961-π/2
    0.885247718725923-1.57079632675     		φ = -0.68554861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38924762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68554861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.279042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57416 KachelY 81110 -0.38924762 -0.68554861 -22.302246 -39.279042
    Oben rechts KachelX + 1 57417 KachelY 81110 -0.38919969 -0.68554861 -22.299500 -39.279042
    Unten links KachelX 57416 KachelY + 1 81111 -0.38924762 -0.68558571 -22.302246 -39.281168
    Unten rechts KachelX + 1 57417 KachelY + 1 81111 -0.38919969 -0.68558571 -22.299500 -39.281168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68554861--0.68558571) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dl = 236.364100000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68554861--0.68558571) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dr = 236.364100000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.68554861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774071839828919 × 6371000     		do = 236.372148376138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(-0.68558571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774048351368925 × 6371000     		du = 236.364975892313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68554861)-sin(-0.68558571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774071839828919-0.774048351368925)×R²
    abs(-0.38919969--0.38924762)×2.34884599936702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34884599936702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34884599936702e-05×40589641000000     		ar = 55869.0424635988m²