Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57416 / 29783
↖ ↑ ↗
← N 69.573855°
W 22.302246°		 ← 106.57 m → N 69.573855°
W 22.299500°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.572896°
W 22.302246°		 ← 106.58 m →
11 359 m²		 N 69.572896°
W 22.299500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438053131103516 y=0.227230072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438053131103516 × 217)
    floor (0.438053131103516 × 131072)
    floor (57416.5)     		tx = 57416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227230072021484 × 217)
    floor (0.227230072021484 × 131072)
    floor (29783.5)     		ty = 29783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57416 / 29783 ti = "17/57416/29783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57416/29783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57416 ÷ 217
    57416 ÷ 131072     		x = 0.43804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29783 ÷ 217
    29783 ÷ 131072     		y = 0.227226257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38924762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227226257324219 × 2 - 1) × π
    0.545547485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.71388797211587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38924762} λ = -0.38924762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71388797211587))-π/2
    2×atan(5.5504997686846)-π/2
    2×1.39254458188612-π/2
    2.78508916377224-1.57079632675     		φ = 1.21429284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38924762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21429284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.573855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57416 KachelY 29783 -0.38924762 1.21429284 -22.302246 69.573855
    Oben rechts KachelX + 1 57417 KachelY 29783 -0.38919969 1.21429284 -22.299500 69.573855
    Unten links KachelX 57416 KachelY + 1 29784 -0.38924762 1.21427611 -22.302246 69.572896
    Unten rechts KachelX + 1 57417 KachelY + 1 29784 -0.38919969 1.21427611 -22.299500 69.572896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21429284-1.21427611) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21429284-1.21427611) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(1.21429284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348999710959728 × 6371000     		do = 106.571260208141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38924762--0.38919969) × cos(1.21427611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349015388975861 × 6371000     		du = 106.576047678974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21429284)-sin(1.21427611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348999710959728-0.349015388975861)×R²
    abs(-0.38919969--0.38924762)×1.56780161328363e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56780161328363e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56780161328363e-05×40589641000000     		ar = 11359.3479354472m²