Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57415 / 29768
↖ ↑ ↗
← N 69.588228°
W 22.304993°		 ← 106.52 m → N 69.588228°
W 22.302246°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.587270°
W 22.304993°		 ← 106.53 m →
11 347 m²		 N 69.587270°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438045501708984 y=0.227115631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438045501708984 × 217)
    floor (0.438045501708984 × 131072)
    floor (57415.5)     		tx = 57415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227115631103516 × 217)
    floor (0.227115631103516 × 131072)
    floor (29768.5)     		ty = 29768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57415 / 29768 ti = "17/57415/29768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57415/29768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57415 ÷ 217
    57415 ÷ 131072     		x = 0.438041687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29768 ÷ 217
    29768 ÷ 131072     		y = 0.22711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438041687011719 × 2 - 1) × π
    -0.123916625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38929556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71460702561017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38929556} λ = -0.38929556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71460702561017))-π/2
    2×atan(5.55449231019182)-π/2
    2×1.39267001435112-π/2
    2.78534002870224-1.57079632675     		φ = 1.21454370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38929556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.304993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21454370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.588228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57415 KachelY 29768 -0.38929556 1.21454370 -22.304993 69.588228
    Oben rechts KachelX + 1 57416 KachelY 29768 -0.38924762 1.21454370 -22.302246 69.588228
    Unten links KachelX 57415 KachelY + 1 29769 -0.38929556 1.21452698 -22.304993 69.587270
    Unten rechts KachelX + 1 57416 KachelY + 1 29769 -0.38924762 1.21452698 -22.302246 69.587270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21454370-1.21452698) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dl = 106.523119999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21454370-1.21452698) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dr = 106.523119999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38929556--0.38924762) × cos(1.21454370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		do = 106.521690117319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38929556--0.38924762) × cos(1.21452698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348780283455561 × 6371000     		du = 106.526476171755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21454370)-sin(1.21452698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348764613347221-0.348780283455561)×R²
    abs(-0.38924762--0.38929556)×1.56701083396937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56701083396937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56701083396937e-05×40589641000000     		ar = 11347.2776919309m²