Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57412 / 9136
↖ ↑ ↗
← N 78.152551°
E135.373535°		 ← 125.40 m → N 78.152551°
E135.379028°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
N 78.151423°
E135.373535°		 ← 125.41 m →
15 731 m²		 N 78.151423°
E135.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876045227050781 y=0.139411926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876045227050781 × 216)
    floor (0.876045227050781 × 65536)
    floor (57412.5)     		tx = 57412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139411926269531 × 216)
    floor (0.139411926269531 × 65536)
    floor (9136.5)     		ty = 9136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57412 / 9136 ti = "16/57412/9136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57412/9136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57412 ÷ 216
    57412 ÷ 65536     		x = 0.87603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9136 ÷ 216
    9136 ÷ 65536     		y = 0.139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87603759765625 × 2 - 1) × π
    0.7520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36271391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    0.72119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26568962364233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36271391} λ = 2.36271391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26568962364233))-π/2
    2×atan(9.63776874305284)-π/2
    2×1.46740783256436-π/2
    2.93481566512873-1.57079632675     		φ = 1.36401934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36271391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36401934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57412 KachelY 9136 2.36271391 1.36401934 135.373535 78.152551
    Oben rechts KachelX + 1 57413 KachelY 9136 2.36280978 1.36401934 135.379028 78.152551
    Unten links KachelX 57412 KachelY + 1 9137 2.36271391 1.36399965 135.373535 78.151423
    Unten rechts KachelX + 1 57413 KachelY + 1 9137 2.36280978 1.36399965 135.379028 78.151423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36401934-1.36399965) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36401934-1.36399965) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36271391-2.36280978) × cos(1.36401934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205306616029956 × 6371000     		do = 125.39877017118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36271391-2.36280978) × cos(1.36399965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205325886547924 × 6371000     		du = 125.410540367877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36401934)-sin(1.36399965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205306616029956-0.205325886547924)×R²
    abs(2.36280978-2.36271391)×1.92705179681008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92705179681008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92705179681008e-05×40589641000000     		ar = 15731.3857265054m²