Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57412 / 84802
↖ ↑ ↗
← S 46.683363°
W 22.313232°		 ← 209.49 m → S 46.683363°
W 22.310486°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 46.685247°
W 22.313232°		 ← 209.48 m →
43 896 m²		 S 46.685247°
W 22.310486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438022613525391 y=0.646991729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438022613525391 × 217)
    floor (0.438022613525391 × 131072)
    floor (57412.5)     		tx = 57412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646991729736328 × 217)
    floor (0.646991729736328 × 131072)
    floor (84802.5)     		ty = 84802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57412 / 84802 ti = "17/57412/84802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57412/84802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57412 ÷ 217
    57412 ÷ 131072     		x = 0.438018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84802 ÷ 217
    84802 ÷ 131072     		y = 0.646987915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.12396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38943937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646987915039062 × 2 - 1) × π
    -0.293975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.923552308080002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38943937} λ = -0.38943937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923552308080002))-π/2
    2×atan(0.397105890134637)-π/2
    2×0.378008967664621-π/2
    0.756017935329243-1.57079632675     		φ = -0.81477839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38943937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.313232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81477839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.683363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57412 KachelY 84802 -0.38943937 -0.81477839 -22.313232 -46.683363
    Oben rechts KachelX + 1 57413 KachelY 84802 -0.38939144 -0.81477839 -22.310486 -46.683363
    Unten links KachelX 57412 KachelY + 1 84803 -0.38943937 -0.81481128 -22.313232 -46.685247
    Unten rechts KachelX + 1 57413 KachelY + 1 84803 -0.38939144 -0.81481128 -22.310486 -46.685247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81477839--0.81481128) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dl = 209.542190000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81477839--0.81481128) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dr = 209.542190000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38943937--0.38939144) × cos(-0.81477839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686029647883484 × 6371000     		do = 209.487405918014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38943937--0.38939144) × cos(-0.81481128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686005717617207 × 6371000     		du = 209.480098523325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81477839)-sin(-0.81481128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686029647883484-0.686005717617207)×R²
    abs(-0.38939144--0.38943937)×2.39302662776719e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39302662776719e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39302662776719e-05×40589641000000     		ar = 43895.6842138453m²