Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57410 / 84762
↖ ↑ ↗
← S 46.607941°
W 22.318726°		 ← 209.82 m → S 46.607941°
W 22.315979°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
S 46.609828°
W 22.318726°		 ← 209.82 m →
44 020 m²		 S 46.609828°
W 22.315979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438007354736328 y=0.646686553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438007354736328 × 217)
    floor (0.438007354736328 × 131072)
    floor (57410.5)     		tx = 57410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646686553955078 × 217)
    floor (0.646686553955078 × 131072)
    floor (84762.5)     		ty = 84762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57410 / 84762 ti = "17/57410/84762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57410/84762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57410 ÷ 217
    57410 ÷ 131072     		x = 0.438003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84762 ÷ 217
    84762 ÷ 131072     		y = 0.646682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.123992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38953525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646682739257812 × 2 - 1) × π
    -0.293365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9216348320952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38953525} λ = -0.38953525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9216348320952))-π/2
    2×atan(0.397868061631641)-π/2
    2×0.378667149170416-π/2
    0.757334298340831-1.57079632675     		φ = -0.81346203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38953525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.318726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81346203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.607941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57410 KachelY 84762 -0.38953525 -0.81346203 -22.318726 -46.607941
    Oben rechts KachelX + 1 57411 KachelY 84762 -0.38948731 -0.81346203 -22.315979 -46.607941
    Unten links KachelX 57410 KachelY + 1 84763 -0.38953525 -0.81349496 -22.318726 -46.609828
    Unten rechts KachelX + 1 57411 KachelY + 1 84763 -0.38948731 -0.81349496 -22.315979 -46.609828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81346203--0.81349496) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81346203--0.81349496) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38953525--0.38948731) × cos(-0.81346203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686986801994558 × 6371000     		do = 209.823452369527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38953525--0.38948731) × cos(-0.81349496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686962872382496 × 6371000     		du = 209.816143650055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81346203)-sin(-0.81349496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686986801994558-0.686962872382496)×R²
    abs(-0.38948731--0.38953525)×2.39296120624344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39296120624344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39296120624344e-05×40589641000000     		ar = 44019.5704617043m²