Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57407 / 9154
↖ ↑ ↗
← N 78.132234°
E135.346069°		 ← 125.61 m → N 78.132234°
E135.351562°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 78.131104°
E135.346069°		 ← 125.62 m →
15 782 m²		 N 78.131104°
E135.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875968933105469 y=0.139686584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875968933105469 × 216)
    floor (0.875968933105469 × 65536)
    floor (57407.5)     		tx = 57407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139686584472656 × 216)
    floor (0.139686584472656 × 65536)
    floor (9154.5)     		ty = 9154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57407 / 9154 ti = "16/57407/9154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57407/9154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57407 ÷ 216
    57407 ÷ 65536     		x = 0.875961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9154 ÷ 216
    9154 ÷ 65536     		y = 0.139678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875961303710938 × 2 - 1) × π
    0.751922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36223454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139678955078125 × 2 - 1) × π
    0.72064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26396389525601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36223454} λ = 2.36223454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26396389525601))-π/2
    2×atan(9.62115091500512)-π/2
    2×1.46723053115316-π/2
    2.93446106230632-1.57079632675     		φ = 1.36366474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36223454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.346069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36366474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.132234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57407 KachelY 9154 2.36223454 1.36366474 135.346069 78.132234
    Oben rechts KachelX + 1 57408 KachelY 9154 2.36233041 1.36366474 135.351562 78.132234
    Unten links KachelX 57407 KachelY + 1 9155 2.36223454 1.36364502 135.346069 78.131104
    Unten rechts KachelX + 1 57408 KachelY + 1 9155 2.36233041 1.36364502 135.351562 78.131104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36366474-1.36364502) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dl = 125.636119998944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36366474-1.36364502) × R
    1.97199999998343e-05 × 6371000     		dr = 125.636119998944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36223454-2.36233041) × cos(1.36366474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20565364932034 × 6371000     		do = 125.61073386073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36223454-2.36233041) × cos(1.36364502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205672947762187 × 6371000     		du = 125.62252111299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36366474)-sin(1.36364502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20565364932034-0.205672947762187)×R²
    abs(2.36233041-2.36223454)×1.92984418467546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92984418467546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92984418467546e-05×40589641000000     		ar = 15781.9856852147m²