Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57407 / 84313
↖ ↑ ↗
← S 45.754110°
W 22.326966°		 ← 213.11 m → S 45.754110°
W 22.324219°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 45.756026°
W 22.326966°		 ← 213.10 m →
45 415 m²		 S 45.756026°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437984466552734 y=0.643260955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437984466552734 × 217)
    floor (0.437984466552734 × 131072)
    floor (57407.5)     		tx = 57407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643260955810547 × 217)
    floor (0.643260955810547 × 131072)
    floor (84313.5)     		ty = 84313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57407 / 84313 ti = "17/57407/84313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57407/84313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57407 ÷ 217
    57407 ÷ 131072     		x = 0.437980651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84313 ÷ 217
    84313 ÷ 131072     		y = 0.643257141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437980651855469 × 2 - 1) × π
    -0.124038696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38967906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643257141113281 × 2 - 1) × π
    -0.286514282226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.900111164165794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38967906} λ = -0.38967906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900111164165794))-π/2
    2×atan(0.40652446627553)-π/2
    2×0.386118232319153-π/2
    0.772236464638307-1.57079632675     		φ = -0.79855986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38967906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.326966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79855986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.754110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57407 KachelY 84313 -0.38967906 -0.79855986 -22.326966 -45.754110
    Oben rechts KachelX + 1 57408 KachelY 84313 -0.38963112 -0.79855986 -22.324219 -45.754110
    Unten links KachelX 57407 KachelY + 1 84314 -0.38967906 -0.79859331 -22.326966 -45.756026
    Unten rechts KachelX + 1 57408 KachelY + 1 84314 -0.38963112 -0.79859331 -22.324219 -45.756026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79855986--0.79859331) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79855986--0.79859331) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38967906--0.38963112) × cos(-0.79855986) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697739079704953 × 6371000     		do = 213.107474745911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38967906--0.38963112) × cos(-0.79859331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697715117340469 × 6371000     		du = 213.100156023007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79855986)-sin(-0.79859331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697739079704953-0.697715117340469)×R²
    abs(-0.38963112--0.38967906)×2.3962364483765e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3962364483765e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3962364483765e-05×40589641000000     		ar = 45414.5434456922m²