Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57407 / 29843
↖ ↑ ↗
← N 69.516264°
W 22.326966°		 ← 106.88 m → N 69.516264°
W 22.324219°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 69.515303°
W 22.326966°		 ← 106.89 m →
11 426 m²		 N 69.515303°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437984466552734 y=0.227687835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437984466552734 × 217)
    floor (0.437984466552734 × 131072)
    floor (57407.5)     		tx = 57407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227687835693359 × 217)
    floor (0.227687835693359 × 131072)
    floor (29843.5)     		ty = 29843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57407 / 29843 ti = "17/57407/29843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57407/29843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57407 ÷ 217
    57407 ÷ 131072     		x = 0.437980651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29843 ÷ 217
    29843 ÷ 131072     		y = 0.227684020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437980651855469 × 2 - 1) × π
    -0.124038696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38967906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227684020996094 × 2 - 1) × π
    0.544631958007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71101175813866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38967906} λ = -0.38967906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71101175813866))-π/2
    2×atan(5.53455828022521)-π/2
    2×1.39204200603454-π/2
    2.78408401206909-1.57079632675     		φ = 1.21328769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38967906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.326966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21328769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.516264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57407 KachelY 29843 -0.38967906 1.21328769 -22.326966 69.516264
    Oben rechts KachelX + 1 57408 KachelY 29843 -0.38963112 1.21328769 -22.324219 69.516264
    Unten links KachelX 57407 KachelY + 1 29844 -0.38967906 1.21327091 -22.326966 69.515303
    Unten rechts KachelX + 1 57408 KachelY + 1 29844 -0.38963112 1.21327091 -22.324219 69.515303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21328769-1.21327091) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21328769-1.21327091) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38967906--0.38963112) × cos(1.21328769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349941483513612 × 6371000     		do = 106.881136558896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38967906--0.38963112) × cos(1.21327091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349957202491144 × 6371000     		du = 106.885937539241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21328769)-sin(1.21327091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349941483513612-0.349957202491144)×R²
    abs(-0.38963112--0.38967906)×1.57189775321087e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57189775321087e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57189775321087e-05×40589641000000     		ar = 11426.4251442404m²