Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57405 / 81102
↖ ↑ ↗
← S 39.262031°
W 22.332458°		 ← 236.48 m → S 39.262031°
W 22.329712°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 39.264158°
W 22.332458°		 ← 236.47 m →
55 909 m²		 S 39.264158°
W 22.329712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437969207763672 y=0.618762969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437969207763672 × 217)
    floor (0.437969207763672 × 131072)
    floor (57405.5)     		tx = 57405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618762969970703 × 217)
    floor (0.618762969970703 × 131072)
    floor (81102.5)     		ty = 81102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57405 / 81102 ti = "17/57405/81102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57405/81102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57405 ÷ 217
    57405 ÷ 131072     		x = 0.437965393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81102 ÷ 217
    81102 ÷ 131072     		y = 0.618759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437965393066406 × 2 - 1) × π
    -0.124069213867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38977493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.237518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.746185779485794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38977493} λ = -0.38977493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746185779485794))-π/2
    2×atan(0.474171703369498)-π/2
    2×0.442772303797033-π/2
    0.885544607594067-1.57079632675     		φ = -0.68525172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38977493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.332458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68525172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.262031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57405 KachelY 81102 -0.38977493 -0.68525172 -22.332458 -39.262031
    Oben rechts KachelX + 1 57406 KachelY 81102 -0.38972699 -0.68525172 -22.329712 -39.262031
    Unten links KachelX 57405 KachelY + 1 81103 -0.38977493 -0.68528883 -22.332458 -39.264158
    Unten rechts KachelX + 1 57406 KachelY + 1 81103 -0.38972699 -0.68528883 -22.329712 -39.264158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68525172--0.68528883) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dl = 236.42780999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68525172--0.68528883) × R
    3.71099999999513e-05 × 6371000     		dr = 236.42780999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38977493--0.38972699) × cos(-0.68525172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774259766108421 × 6371000     		do = 236.47886201601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38977493--0.38972699) × cos(-0.68528883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774236279846473 × 6371000     		du = 236.471688707075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68525172)-sin(-0.68528883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774259766108421-0.774236279846473)×R²
    abs(-0.38972699--0.38977493)×2.34862619480358e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34862619480358e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34862619480358e-05×40589641000000     		ar = 55909.3314791513m²