Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57404 / 87150
↖ ↑ ↗
← S 50.927276°
W 22.335205°		 ← 192.51 m → S 50.927276°
W 22.332458°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 50.929007°
W 22.335205°		 ← 192.50 m →
37 064 m²		 S 50.929007°
W 22.332458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437961578369141 y=0.664905548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437961578369141 × 217)
    floor (0.437961578369141 × 131072)
    floor (57404.5)     		tx = 57404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664905548095703 × 217)
    floor (0.664905548095703 × 131072)
    floor (87150.5)     		ty = 87150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57404 / 87150 ti = "17/57404/87150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57404/87150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57404 ÷ 217
    57404 ÷ 131072     		x = 0.437957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87150 ÷ 217
    87150 ÷ 131072     		y = 0.664901733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.12408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38982287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664901733398438 × 2 - 1) × π
    -0.329803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03610814838789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38982287} λ = -0.38982287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03610814838789))-π/2
    2×atan(0.354832955410777)-π/2
    2×0.340973842719758-π/2
    0.681947685439517-1.57079632675     		φ = -0.88884864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38982287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.335205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88884864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.927276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57404 KachelY 87150 -0.38982287 -0.88884864 -22.335205 -50.927276
    Oben rechts KachelX + 1 57405 KachelY 87150 -0.38977493 -0.88884864 -22.332458 -50.927276
    Unten links KachelX 57404 KachelY + 1 87151 -0.38982287 -0.88887886 -22.335205 -50.929007
    Unten rechts KachelX + 1 57405 KachelY + 1 87151 -0.38977493 -0.88887886 -22.332458 -50.929007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88884864--0.88887886) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dl = 192.531620000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88884864--0.88887886) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dr = 192.531620000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38982287--0.38977493) × cos(-0.88884864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630306298519619 × 6371000     		do = 192.511767651889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38982287--0.38977493) × cos(-0.88887886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630282837038984 × 6371000     		du = 192.504601911805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88884864)-sin(-0.88887886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630306298519619-0.630282837038984)×R²
    abs(-0.38977493--0.38982287)×2.34614806352562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34614806352562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34614806352562e-05×40589641000000     		ar = 37063.9126822188m²