Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57403 / 87148
↖ ↑ ↗
← S 50.923813°
W 22.337951°		 ← 192.49 m → S 50.923813°
W 22.335205°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 50.925545°
W 22.337951°		 ← 192.48 m →
37 059 m²		 S 50.925545°
W 22.335205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437953948974609 y=0.664890289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437953948974609 × 217)
    floor (0.437953948974609 × 131072)
    floor (57403.5)     		tx = 57403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664890289306641 × 217)
    floor (0.664890289306641 × 131072)
    floor (87148.5)     		ty = 87148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57403 / 87148 ti = "17/57403/87148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57403/87148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57403 ÷ 217
    57403 ÷ 131072     		x = 0.437950134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87148 ÷ 217
    87148 ÷ 131072     		y = 0.664886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437950134277344 × 2 - 1) × π
    -0.124099731445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38987080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664886474609375 × 2 - 1) × π
    -0.32977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03601227458865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38987080} λ = -0.38987080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03601227458865))-π/2
    2×atan(0.354866976225134)-π/2
    2×0.341004058773948-π/2
    0.682008117547895-1.57079632675     		φ = -0.88878821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38987080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.337951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88878821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.923813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57403 KachelY 87148 -0.38987080 -0.88878821 -22.337951 -50.923813
    Oben rechts KachelX + 1 57404 KachelY 87148 -0.38982287 -0.88878821 -22.335205 -50.923813
    Unten links KachelX 57403 KachelY + 1 87149 -0.38987080 -0.88881843 -22.337951 -50.925545
    Unten rechts KachelX + 1 57404 KachelY + 1 87149 -0.38982287 -0.88881843 -22.335205 -50.925545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88878821--0.88881843) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dl = 192.531620000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88878821--0.88881843) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dr = 192.531620000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38987080--0.38982287) × cos(-0.88878821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630353211990905 × 6371000     		do = 192.485936430681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38987080--0.38982287) × cos(-0.88881843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630329751661353 × 6371000     		du = 192.478772536824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88878821)-sin(-0.88881843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630353211990905-0.630329751661353)×R²
    abs(-0.38982287--0.38987080)×2.34603295519165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34603295519165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34603295519165e-05×40589641000000     		ar = 37058.9395330496m²