Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57401 / 84798
↖ ↑ ↗
← S 46.675826°
W 22.343445°		 ← 209.56 m → S 46.675826°
W 22.340698°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 46.677710°
W 22.343445°		 ← 209.55 m →
43 911 m²		 S 46.677710°
W 22.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437938690185547 y=0.646961212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437938690185547 × 217)
    floor (0.437938690185547 × 131072)
    floor (57401.5)     		tx = 57401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646961212158203 × 217)
    floor (0.646961212158203 × 131072)
    floor (84798.5)     		ty = 84798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57401 / 84798 ti = "17/57401/84798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57401/84798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57401 ÷ 217
    57401 ÷ 131072     		x = 0.437934875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84798 ÷ 217
    84798 ÷ 131072     		y = 0.646957397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437934875488281 × 2 - 1) × π
    -0.124130249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38996668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646957397460938 × 2 - 1) × π
    -0.293914794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.923360560481522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38996668} λ = -0.38996668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923360560481522))-π/2
    2×atan(0.397182041536103)-π/2
    2×0.378074744521237-π/2
    0.756149489042475-1.57079632675     		φ = -0.81464684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38996668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.343445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81464684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.675826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57401 KachelY 84798 -0.38996668 -0.81464684 -22.343445 -46.675826
    Oben rechts KachelX + 1 57402 KachelY 84798 -0.38991874 -0.81464684 -22.340698 -46.675826
    Unten links KachelX 57401 KachelY + 1 84799 -0.38996668 -0.81467973 -22.343445 -46.677710
    Unten rechts KachelX + 1 57402 KachelY + 1 84799 -0.38991874 -0.81467973 -22.340698 -46.677710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81464684--0.81467973) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dl = 209.542190000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81464684--0.81467973) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dr = 209.542190000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(-0.81464684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686125354252363 × 6371000     		do = 209.560344055395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(-0.81467973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686101426954471 × 6371000     		du = 209.55303604273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81464684)-sin(-0.81467973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686125354252363-0.686101426954471)×R²
    abs(-0.38991874--0.38996668)×2.39272978921345e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39272978921345e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39272978921345e-05×40589641000000     		ar = 43910.967766006m²