Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57401 / 42472
↖ ↑ ↗
← N 53.370220°
W 22.343445°		 ← 182.23 m → N 53.370220°
W 22.340698°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.368582°
W 22.343445°		 ← 182.24 m →
33 205 m²		 N 53.368582°
W 22.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437938690185547 y=0.324039459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437938690185547 × 217)
    floor (0.437938690185547 × 131072)
    floor (57401.5)     		tx = 57401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324039459228516 × 217)
    floor (0.324039459228516 × 131072)
    floor (42472.5)     		ty = 42472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57401 / 42472 ti = "17/57401/42472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57401/42472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57401 ÷ 217
    57401 ÷ 131072     		x = 0.437934875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42472 ÷ 217
    42472 ÷ 131072     		y = 0.32403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437934875488281 × 2 - 1) × π
    -0.124130249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38996668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32403564453125 × 2 - 1) × π
    0.3519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10561665283698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38996668} λ = -0.38996668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10561665283698))-π/2
    2×atan(3.02108685630497)-π/2
    2×1.2511411991536-π/2
    2.50228239830721-1.57079632675     		φ = 0.93148607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38996668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.343445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93148607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.370220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57401 KachelY 42472 -0.38996668 0.93148607 -22.343445 53.370220
    Oben rechts KachelX + 1 57402 KachelY 42472 -0.38991874 0.93148607 -22.340698 53.370220
    Unten links KachelX 57401 KachelY + 1 42473 -0.38996668 0.93145747 -22.343445 53.368582
    Unten rechts KachelX + 1 57402 KachelY + 1 42473 -0.38991874 0.93145747 -22.340698 53.368582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93148607-0.93145747) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93148607-0.93145747) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(0.93148607) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596642059250843 × 6371000     		do = 182.229842461904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(0.93145747) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596665010720712 × 6371000     		du = 182.236852431573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93148607)-sin(0.93145747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596642059250843-0.596665010720712)×R²
    abs(-0.38991874--0.38996668)×2.29514698688593e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29514698688593e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29514698688593e-05×40589641000000     		ar = 33204.8475804505m²