Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57401 / 29786
↖ ↑ ↗
← N 69.570979°
W 22.343445°		 ← 106.61 m → N 69.570979°
W 22.340698°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.570020°
W 22.343445°		 ← 106.61 m →
11 363 m²		 N 69.570020°
W 22.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437938690185547 y=0.227252960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437938690185547 × 217)
    floor (0.437938690185547 × 131072)
    floor (57401.5)     		tx = 57401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227252960205078 × 217)
    floor (0.227252960205078 × 131072)
    floor (29786.5)     		ty = 29786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57401 / 29786 ti = "17/57401/29786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57401/29786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57401 ÷ 217
    57401 ÷ 131072     		x = 0.437934875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29786 ÷ 217
    29786 ÷ 131072     		y = 0.227249145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437934875488281 × 2 - 1) × π
    -0.124130249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38996668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227249145507812 × 2 - 1) × π
    0.545501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71374416141701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38996668} λ = -0.38996668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71374416141701))-π/2
    2×atan(5.54970160482747)-π/2
    2×1.39251948524868-π/2
    2.78503897049737-1.57079632675     		φ = 1.21424264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38996668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.343445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21424264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.570979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57401 KachelY 29786 -0.38996668 1.21424264 -22.343445 69.570979
    Oben rechts KachelX + 1 57402 KachelY 29786 -0.38991874 1.21424264 -22.340698 69.570979
    Unten links KachelX 57401 KachelY + 1 29787 -0.38996668 1.21422591 -22.343445 69.570020
    Unten rechts KachelX + 1 57402 KachelY + 1 29787 -0.38991874 1.21422591 -22.340698 69.570020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21424264-1.21422591) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21424264-1.21422591) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(1.21424264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349046754086115 × 6371000     		do = 106.607863161403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38996668--0.38991874) × cos(1.21422591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349062431809115 × 6371000     		du = 106.612651541552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21424264)-sin(1.21422591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349046754086115-0.349062431809115)×R²
    abs(-0.38991874--0.38996668)×1.56777230004845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56777230004845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56777230004845e-05×40589641000000     		ar = 11363.249376774m²