Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57400 / 42471
↖ ↑ ↗
← N 53.371859°
W 22.346192°		 ← 182.22 m → N 53.371859°
W 22.343445°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.370220°
W 22.346192°		 ← 182.23 m →
33 204 m²		 N 53.370220°
W 22.343445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437931060791016 y=0.324031829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437931060791016 × 217)
    floor (0.437931060791016 × 131072)
    floor (57400.5)     		tx = 57400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324031829833984 × 217)
    floor (0.324031829833984 × 131072)
    floor (42471.5)     		ty = 42471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57400 / 42471 ti = "17/57400/42471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57400/42471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57400 ÷ 217
    57400 ÷ 131072     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42471 ÷ 217
    42471 ÷ 131072     		y = 0.324028015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324028015136719 × 2 - 1) × π
    0.351943969726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1056645897366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1056645897366))-π/2
    2×atan(3.02123168131355)-π/2
    2×1.25115549946376-π/2
    2.50231099892751-1.57079632675     		φ = 0.93151467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93151467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.371859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57400 KachelY 42471 -0.39001462 0.93151467 -22.346192 53.371859
    Oben rechts KachelX + 1 57401 KachelY 42471 -0.38996668 0.93151467 -22.343445 53.371859
    Unten links KachelX 57400 KachelY + 1 42472 -0.39001462 0.93148607 -22.346192 53.370220
    Unten rechts KachelX + 1 57401 KachelY + 1 42472 -0.38996668 0.93148607 -22.343445 53.370220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93151467-0.93148607) × R
    2.85999999999342e-05 × 6371000     		dl = 182.210599999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93151467-0.93148607) × R
    2.85999999999342e-05 × 6371000     		dr = 182.210599999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38996668) × cos(0.93151467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596619107292945 × 6371000     		do = 182.222832342968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38996668) × cos(0.93148607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596642059250843 × 6371000     		du = 182.229842461693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93151467)-sin(0.93148607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596619107292945-0.596642059250843)×R²
    abs(-0.38996668--0.39001462)×2.29519578980319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29519578980319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29519578980319e-05×40589641000000     		ar = 33203.5702760273m²