Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57400 / 29787
↖ ↑ ↗
← N 69.570020°
W 22.346192°		 ← 106.61 m → N 69.570020°
W 22.343445°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.569061°
W 22.346192°		 ← 106.62 m →
11 364 m²		 N 69.569061°
W 22.343445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437931060791016 y=0.227260589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437931060791016 × 217)
    floor (0.437931060791016 × 131072)
    floor (57400.5)     		tx = 57400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227260589599609 × 217)
    floor (0.227260589599609 × 131072)
    floor (29787.5)     		ty = 29787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57400 / 29787 ti = "17/57400/29787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57400/29787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57400 ÷ 217
    57400 ÷ 131072     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29787 ÷ 217
    29787 ÷ 131072     		y = 0.227256774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227256774902344 × 2 - 1) × π
    0.545486450195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71369622451739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71369622451739))-π/2
    2×atan(5.54943557571507)-π/2
    2×1.39251111895125-π/2
    2.78502223790249-1.57079632675     		φ = 1.21422591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21422591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.570020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57400 KachelY 29787 -0.39001462 1.21422591 -22.346192 69.570020
    Oben rechts KachelX + 1 57401 KachelY 29787 -0.38996668 1.21422591 -22.343445 69.570020
    Unten links KachelX 57400 KachelY + 1 29788 -0.39001462 1.21420918 -22.346192 69.569061
    Unten rechts KachelX + 1 57401 KachelY + 1 29788 -0.38996668 1.21420918 -22.343445 69.569061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21422591-1.21420918) × R
    1.67299999997983e-05 × 6371000     		dl = 106.586829998715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21422591-1.21420918) × R
    1.67299999997983e-05 × 6371000     		dr = 106.586829998715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38996668) × cos(1.21422591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349062431809115 × 6371000     		do = 106.612651541429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38996668) × cos(1.21420918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349078109434416 × 6371000     		du = 106.617439891737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21422591)-sin(1.21420918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349062431809115-0.349078109434416)×R²
    abs(-0.38996668--0.39001462)×1.56776253002477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56776253002477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56776253002477e-05×40589641000000     		ar = 11363.7597535024m²