Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 574 / 598
↖ ↑ ↗
← S 28.921631°
E 21.796875°		 ← 34.216 km → S 28.921631°
E 22.148438°		 →
↑
34.166 km
↓
↑
34.166 km
↓
S 29.228890°
E 21.796875°		 ← 34.115 km →
1 167.29 km²		 S 29.228890°
E 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56103515625 y=0.58447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56103515625 × 210)
    floor (0.56103515625 × 1024)
    floor (574.5)     		tx = 574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58447265625 × 210)
    floor (0.58447265625 × 1024)
    floor (598.5)     		ty = 598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 574 / 598 ti = "10/574/598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/574/598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 574 ÷ 210
    574 ÷ 1024     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 598 ÷ 210
    598 ÷ 1024     		y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675     		φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 574 KachelY 598 0.38042724 -0.50477769 21.796875 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 575 KachelY 598 0.38656316 -0.50477769 22.148438 -28.921631
    Unten links KachelX 574 KachelY + 1 599 0.38042724 -0.51014037 21.796875 -29.228890
    Unten rechts KachelX + 1 575 KachelY + 1 599 0.38656316 -0.51014037 22.148438 -29.228890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50477769--0.51014037) × R
    0.00536268000000006 × 6371000     		dl = 34165.6342800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50477769--0.51014037) × R
    0.00536268000000006 × 6371000     		dr = 34165.6342800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38656316) × cos(-0.50477769) × R
    0.00613592000000002 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 34216.4772728118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38656316) × cos(-0.51014037) × R
    0.00613592000000002 × 0.872675973607667 × 6371000     		du = 34114.6023150248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.51014037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.872675973607667)×R²
    abs(0.38656316-0.38042724)×0.00260603442338569×R²
    0.00613592000000002×0.00260603442338569×6371000²
    0.00613592000000002×0.00260603442338569×40589641000000     		ar = 1167290135.02272m²