Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 574 / 594
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 21.796875°		 ← 34.617 km → S 27.683528°
E 22.148438°		 →
↑
34.568 km
↓
↑
34.568 km
↓
S 27.994402°
E 21.796875°		 ← 34.518 km →
1 194.92 km²		 S 27.994402°
E 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56103515625 y=0.58056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56103515625 × 210)
    floor (0.56103515625 × 1024)
    floor (574.5)     		tx = 574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58056640625 × 210)
    floor (0.58056640625 × 1024)
    floor (594.5)     		ty = 594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 574 / 594 ti = "10/574/594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/574/594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 574 ÷ 210
    574 ÷ 1024     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 594 ÷ 210
    594 ÷ 1024     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 574 KachelY 594 0.38042724 -0.48316871 21.796875 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 575 KachelY 594 0.38656316 -0.48316871 22.148438 -27.683528
    Unten links KachelX 574 KachelY + 1 595 0.38042724 -0.48859448 21.796875 -27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 575 KachelY + 1 595 0.38656316 -0.48859448 22.148438 -27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48859448) × R
    0.00542577 × 6371000     		dl = 34567.58067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48859448) × R
    0.00542577 × 6371000     		dr = 34567.58067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38656316) × cos(-0.48316871) × R
    0.00613592000000002 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 34616.9828581671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38656316) × cos(-0.48859448) × R
    0.00613592000000002 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 34517.9329772483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.882993460972506)×R²
    abs(0.38656316-0.38042724)×0.00253376693265506×R²
    0.00613592000000002×0.00253376693265506×6371000²
    0.00613592000000002×0.00253376693265506×40589641000000     		ar = 1194916321.55511m²