Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57399 / 9185
↖ ↑ ↗
← N 78.097163°
E135.302124°		 ← 125.98 m → N 78.097163°
E135.307617°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.096030°
E135.302124°		 ← 125.99 m →
15 876 m²		 N 78.096030°
E135.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875846862792969 y=0.140159606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875846862792969 × 216)
    floor (0.875846862792969 × 65536)
    floor (57399.5)     		tx = 57399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140159606933594 × 216)
    floor (0.140159606933594 × 65536)
    floor (9185.5)     		ty = 9185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57399 / 9185 ti = "16/57399/9185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57399/9185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57399 ÷ 216
    57399 ÷ 65536     		x = 0.875839233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9185 ÷ 216
    9185 ÷ 65536     		y = 0.140151977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875839233398438 × 2 - 1) × π
    0.751678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36146755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140151977539062 × 2 - 1) × π
    0.719696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26099180747957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36146755} λ = 2.36146755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26099180747957))-π/2
    2×atan(9.59259846119251)-π/2
    2×1.466924475943-π/2
    2.93384895188599-1.57079632675     		φ = 1.36305263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36146755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.302124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36305263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.097163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57399 KachelY 9185 2.36146755 1.36305263 135.302124 78.097163
    Oben rechts KachelX + 1 57400 KachelY 9185 2.36156342 1.36305263 135.307617 78.097163
    Unten links KachelX 57399 KachelY + 1 9186 2.36146755 1.36303285 135.302124 78.096030
    Unten rechts KachelX + 1 57400 KachelY + 1 9186 2.36156342 1.36303285 135.307617 78.096030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36305263-1.36303285) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36305263-1.36303285) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36146755-2.36156342) × cos(1.36305263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206252636806436 × 6371000     		do = 125.97658809162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36146755-2.36156342) × cos(1.36303285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206271991471827 × 6371000     		du = 125.988409684533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36305263)-sin(1.36303285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206252636806436-0.206271991471827)×R²
    abs(2.36156342-2.36146755)×1.93546653913801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93546653913801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93546653913801e-05×40589641000000     		ar = 15876.1104185643m²