Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57399 / 29785
↖ ↑ ↗
← N 69.571938°
W 22.348938°		 ← 106.58 m → N 69.571938°
W 22.346192°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.570979°
W 22.348938°		 ← 106.59 m →
11 367 m²		 N 69.570979°
W 22.346192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437923431396484 y=0.227245330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437923431396484 × 217)
    floor (0.437923431396484 × 131072)
    floor (57399.5)     		tx = 57399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227245330810547 × 217)
    floor (0.227245330810547 × 131072)
    floor (29785.5)     		ty = 29785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57399 / 29785 ti = "17/57399/29785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57399/29785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57399 ÷ 217
    57399 ÷ 131072     		x = 0.437919616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29785 ÷ 217
    29785 ÷ 131072     		y = 0.227241516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437919616699219 × 2 - 1) × π
    -0.124160766601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39006255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227241516113281 × 2 - 1) × π
    0.545516967773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.71379209831663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39006255} λ = -0.39006255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71379209831663))-π/2
    2×atan(5.54996764669278)-π/2
    2×1.3925278511703-π/2
    2.7850557023406-1.57079632675     		φ = 1.21425938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39006255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.348938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21425938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.571938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57399 KachelY 29785 -0.39006255 1.21425938 -22.348938 69.571938
    Oben rechts KachelX + 1 57400 KachelY 29785 -0.39001462 1.21425938 -22.346192 69.571938
    Unten links KachelX 57399 KachelY + 1 29786 -0.39006255 1.21424264 -22.348938 69.570979
    Unten rechts KachelX + 1 57400 KachelY + 1 29786 -0.39001462 1.21424264 -22.346192 69.570979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21425938-1.21424264) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dl = 106.650540001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21425938-1.21424264) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dr = 106.650540001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39006255--0.39001462) × cos(1.21425938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349031066894307 × 6371000     		do = 106.580835119977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39006255--0.39001462) × cos(1.21424264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349046754086115 × 6371000     		du = 106.585625392712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21425938)-sin(1.21424264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349031066894307-0.349046754086115)×R²
    abs(-0.39001462--0.39006255)×1.56871918078894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56871918078894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56871918078894e-05×40589641000000     		ar = 11367.1590620477m²