Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57397 / 29851
↖ ↑ ↗
← N 69.508573°
W 22.354431°		 ← 106.92 m → N 69.508573°
W 22.351685°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 69.507612°
W 22.354431°		 ← 106.92 m →
11 431 m²		 N 69.507612°
W 22.351685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437908172607422 y=0.227748870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437908172607422 × 217)
    floor (0.437908172607422 × 131072)
    floor (57397.5)     		tx = 57397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227748870849609 × 217)
    floor (0.227748870849609 × 131072)
    floor (29851.5)     		ty = 29851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57397 / 29851 ti = "17/57397/29851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57397/29851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57397 ÷ 217
    57397 ÷ 131072     		x = 0.437904357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29851 ÷ 217
    29851 ÷ 131072     		y = 0.227745056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437904357910156 × 2 - 1) × π
    -0.124191284179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39015843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227745056152344 × 2 - 1) × π
    0.544509887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.7106282629417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39015843} λ = -0.39015843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7106282629417))-π/2
    2×atan(5.5324362106352)-π/2
    2×1.39197489354055-π/2
    2.7839497870811-1.57079632675     		φ = 1.21315346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39015843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.354431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21315346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.508573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57397 KachelY 29851 -0.39015843 1.21315346 -22.354431 69.508573
    Oben rechts KachelX + 1 57398 KachelY 29851 -0.39011049 1.21315346 -22.351685 69.508573
    Unten links KachelX 57397 KachelY + 1 29852 -0.39015843 1.21313668 -22.354431 69.507612
    Unten rechts KachelX + 1 57398 KachelY + 1 29852 -0.39011049 1.21313668 -22.351685 69.507612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21315346-1.21313668) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21315346-1.21313668) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39015843--0.39011049) × cos(1.21315346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.350067223207343 × 6371000     		do = 106.919540697901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39015843--0.39011049) × cos(1.21313668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.350082941396514 × 6371000     		du = 106.924341437461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21315346)-sin(1.21313668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350067223207343-0.350082941396514)×R²
    abs(-0.39011049--0.39015843)×1.57181891717872e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57181891717872e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57181891717872e-05×40589641000000     		ar = 11430.5307402784m²