Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57396 / 87125
↖ ↑ ↗
← S 50.883976°
W 22.357178°		 ← 192.65 m → S 50.883976°
W 22.354431°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.885709°
W 22.357178°		 ← 192.64 m →
37 115 m²		 S 50.885709°
W 22.354431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437900543212891 y=0.664714813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437900543212891 × 217)
    floor (0.437900543212891 × 131072)
    floor (57396.5)     		tx = 57396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664714813232422 × 217)
    floor (0.664714813232422 × 131072)
    floor (87125.5)     		ty = 87125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57396 / 87125 ti = "17/57396/87125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57396/87125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57396 ÷ 217
    57396 ÷ 131072     		x = 0.437896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87125 ÷ 217
    87125 ÷ 131072     		y = 0.664710998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.12420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39020636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664710998535156 × 2 - 1) × π
    -0.329421997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03490972589739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39020636} λ = -0.39020636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03490972589739))-π/2
    2×atan(0.355258450115199)-π/2
    2×0.341351705057845-π/2
    0.68270341011569-1.57079632675     		φ = -0.88809292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39020636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.357178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88809292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.883976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57396 KachelY 87125 -0.39020636 -0.88809292 -22.357178 -50.883976
    Oben rechts KachelX + 1 57397 KachelY 87125 -0.39015843 -0.88809292 -22.354431 -50.883976
    Unten links KachelX 57396 KachelY + 1 87126 -0.39020636 -0.88812316 -22.357178 -50.885709
    Unten rechts KachelX + 1 57397 KachelY + 1 87126 -0.39015843 -0.88812316 -22.354431 -50.885709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88809292--0.88812316) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88809292--0.88812316) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39020636--0.39015843) × cos(-0.88809292) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630892819092694 × 6371000     		do = 192.650711950462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39020636--0.39015843) × cos(-0.88812316) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		du = 192.643547364171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88809292)-sin(-0.88812316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630892819092694-0.630869356495553)×R²
    abs(-0.39015843--0.39020636)×2.34625971402558e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34625971402558e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34625971402558e-05×40589641000000     		ar = 37115.2110616451m²