Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57395 / 9110
↖ ↑ ↗
← N 78.181838°
E135.280151°		 ← 125.11 m → N 78.181838°
E135.285645°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
N 78.180713°
E135.280151°		 ← 125.12 m →
15 655 m²		 N 78.180713°
E135.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875785827636719 y=0.139015197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875785827636719 × 216)
    floor (0.875785827636719 × 65536)
    floor (57395.5)     		tx = 57395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139015197753906 × 216)
    floor (0.139015197753906 × 65536)
    floor (9110.5)     		ty = 9110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57395 / 9110 ti = "16/57395/9110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57395/9110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57395 ÷ 216
    57395 ÷ 65536     		x = 0.875778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9110 ÷ 216
    9110 ÷ 65536     		y = 0.139007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875778198242188 × 2 - 1) × π
    0.751556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36108405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139007568359375 × 2 - 1) × π
    0.72198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26818234242258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36108405} λ = 2.36108405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26818234242258))-π/2
    2×atan(9.66182295793952)-π/2
    2×1.46766340650582-π/2
    2.93532681301164-1.57079632675     		φ = 1.36453049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36108405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.280151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36453049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.181838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57395 KachelY 9110 2.36108405 1.36453049 135.280151 78.181838
    Oben rechts KachelX + 1 57396 KachelY 9110 2.36117993 1.36453049 135.285645 78.181838
    Unten links KachelX 57395 KachelY + 1 9111 2.36108405 1.36451085 135.280151 78.180713
    Unten rechts KachelX + 1 57396 KachelY + 1 9111 2.36117993 1.36451085 135.285645 78.180713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36453049-1.36451085) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dl = 125.126439999213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36453049-1.36451085) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dr = 125.126439999213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36108405-2.36117993) × cos(1.36453049) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204806327900294 × 6371000     		do = 125.106248511178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36108405-2.36117993) × cos(1.36451085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204825551542235 × 6371000     		du = 125.117991301308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36453049)-sin(1.36451085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204806327900294-0.204825551542235)×R²
    abs(2.36117993-2.36108405)×1.92236419402914e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92236419402914e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92236419402914e-05×40589641000000     		ar = 15654.8341652973m²