Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57395 / 81091
↖ ↑ ↗
← S 39.238635°
W 22.359924°		 ← 236.56 m → S 39.238635°
W 22.357178°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
S 39.240763°
W 22.359924°		 ← 236.55 m →
55 958 m²		 S 39.240763°
W 22.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437892913818359 y=0.618679046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437892913818359 × 217)
    floor (0.437892913818359 × 131072)
    floor (57395.5)     		tx = 57395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618679046630859 × 217)
    floor (0.618679046630859 × 131072)
    floor (81091.5)     		ty = 81091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57395 / 81091 ti = "17/57395/81091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57395/81091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57395 ÷ 217
    57395 ÷ 131072     		x = 0.437889099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81091 ÷ 217
    81091 ÷ 131072     		y = 0.618675231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437889099121094 × 2 - 1) × π
    -0.124221801757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39025430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618675231933594 × 2 - 1) × π
    -0.237350463867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.745658473589974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39025430} λ = -0.39025430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745658473589974))-π/2
    2×atan(0.474421802837983)-π/2
    2×0.442976473726665-π/2
    0.88595294745333-1.57079632675     		φ = -0.68484338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39025430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.359924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68484338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.238635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57395 KachelY 81091 -0.39025430 -0.68484338 -22.359924 -39.238635
    Oben rechts KachelX + 1 57396 KachelY 81091 -0.39020636 -0.68484338 -22.357178 -39.238635
    Unten links KachelX 57395 KachelY + 1 81092 -0.39025430 -0.68488051 -22.359924 -39.240763
    Unten rechts KachelX + 1 57396 KachelY + 1 81092 -0.39020636 -0.68488051 -22.357178 -39.240763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68484338--0.68488051) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dl = 236.55523000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68484338--0.68488051) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dr = 236.55523000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39025430--0.39020636) × cos(-0.68484338) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774518126840416 × 6371000     		do = 236.557772033767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39025430--0.39020636) × cos(-0.68488051) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774494639661382 × 6371000     		du = 236.55059844473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68484338)-sin(-0.68488051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774518126840416-0.774494639661382)×R²
    abs(-0.39020636--0.39025430)×2.34871790342206e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34871790342206e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34871790342206e-05×40589641000000     		ar = 55958.1297032793m²