Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57390 / 80951
↖ ↑ ↗
← S 38.940184°
W 22.373657°		 ← 237.51 m → S 38.940184°
W 22.370911°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 38.942321°
W 22.373657°		 ← 237.50 m →
56 426 m²		 S 38.942321°
W 22.370911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437854766845703 y=0.617610931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437854766845703 × 217)
    floor (0.437854766845703 × 131072)
    floor (57390.5)     		tx = 57390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617610931396484 × 217)
    floor (0.617610931396484 × 131072)
    floor (80951.5)     		ty = 80951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57390 / 80951 ti = "17/57390/80951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57390/80951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57390 ÷ 217
    57390 ÷ 131072     		x = 0.437850952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80951 ÷ 217
    80951 ÷ 131072     		y = 0.617607116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437850952148438 × 2 - 1) × π
    -0.124298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39049398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617607116699219 × 2 - 1) × π
    -0.235214233398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.738947307643166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39049398} λ = -0.39049398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738947307643166))-π/2
    2×atan(0.477616434145594)-π/2
    2×0.445580946115579-π/2
    0.891161892231158-1.57079632675     		φ = -0.67963443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39049398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.373657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67963443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.940184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57390 KachelY 80951 -0.39049398 -0.67963443 -22.373657 -38.940184
    Oben rechts KachelX + 1 57391 KachelY 80951 -0.39044605 -0.67963443 -22.370911 -38.940184
    Unten links KachelX 57390 KachelY + 1 80952 -0.39049398 -0.67967172 -22.373657 -38.942321
    Unten rechts KachelX + 1 57391 KachelY + 1 80952 -0.39044605 -0.67967172 -22.370911 -38.942321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67963443--0.67967172) × R
    3.72899999999676e-05 × 6371000     		dl = 237.574589999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67963443--0.67967172) × R
    3.72899999999676e-05 × 6371000     		dr = 237.574589999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39049398--0.39044605) × cos(-0.67963443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.777802534653636 × 6371000     		do = 237.511360921125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39049398--0.39044605) × cos(-0.67967172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.777779097022511 × 6371000     		du = 237.504203958506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67963443)-sin(-0.67967172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777802534653636-0.777779097022511)×R²
    abs(-0.39044605--0.39049398)×2.34376311247786e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34376311247786e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34376311247786e-05×40589641000000     		ar = 56425.814041294m²