Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57388 / 87124
↖ ↑ ↗
← S 50.882243°
W 22.379150°		 ← 192.70 m → S 50.882243°
W 22.376404°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.883976°
W 22.379150°		 ← 192.69 m →
37 137 m²		 S 50.883976°
W 22.376404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437839508056641 y=0.664707183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437839508056641 × 217)
    floor (0.437839508056641 × 131072)
    floor (57388.5)     		tx = 57388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664707183837891 × 217)
    floor (0.664707183837891 × 131072)
    floor (87124.5)     		ty = 87124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57388 / 87124 ti = "17/57388/87124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57388/87124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57388 ÷ 217
    57388 ÷ 131072     		x = 0.437835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87124 ÷ 217
    87124 ÷ 131072     		y = 0.664703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.12432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39058986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.32940673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03486178899777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39058986} λ = -0.39058986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03486178899777))-π/2
    2×atan(0.35527548051205)-π/2
    2×0.341366826861984-π/2
    0.682733653723967-1.57079632675     		φ = -0.88806267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39058986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.379150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88806267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.882243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57388 KachelY 87124 -0.39058986 -0.88806267 -22.379150 -50.882243
    Oben rechts KachelX + 1 57389 KachelY 87124 -0.39054192 -0.88806267 -22.376404 -50.882243
    Unten links KachelX 57388 KachelY + 1 87125 -0.39058986 -0.88809292 -22.379150 -50.883976
    Unten rechts KachelX + 1 57389 KachelY + 1 87125 -0.39054192 -0.88809292 -22.376404 -50.883976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88806267--0.88809292) × R
    3.02499999998984e-05 × 6371000     		dl = 192.722749999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88806267--0.88809292) × R
    3.02499999998984e-05 × 6371000     		dr = 192.722749999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.88806267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		do = 192.698074406703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.88809292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630892819092694 × 6371000     		du = 192.690906132169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88806267)-sin(-0.88809292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630916288871418-0.630892819092694)×R²
    abs(-0.39054192--0.39058986)×2.3469778724583e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3469778724583e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3469778724583e-05×40589641000000     		ar = 37136.6120771003m²