Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57388 / 80941
↖ ↑ ↗
← S 38.918818°
W 22.379150°		 ← 237.63 m → S 38.918818°
W 22.376404°		 →
↑
237.64 m
↓
↑
237.64 m
↓
S 38.920955°
W 22.379150°		 ← 237.63 m →
56 470 m²		 S 38.920955°
W 22.376404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437839508056641 y=0.617534637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437839508056641 × 217)
    floor (0.437839508056641 × 131072)
    floor (57388.5)     		tx = 57388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617534637451172 × 217)
    floor (0.617534637451172 × 131072)
    floor (80941.5)     		ty = 80941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57388 / 80941 ti = "17/57388/80941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57388/80941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57388 ÷ 217
    57388 ÷ 131072     		x = 0.437835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80941 ÷ 217
    80941 ÷ 131072     		y = 0.617530822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.12432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39058986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617530822753906 × 2 - 1) × π
    -0.235061645507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.738467938646965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39058986} λ = -0.39058986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738467938646965))-π/2
    2×atan(0.477845443541816)-π/2
    2×0.445767401407634-π/2
    0.891534802815267-1.57079632675     		φ = -0.67926152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39058986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.379150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67926152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.918818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57388 KachelY 80941 -0.39058986 -0.67926152 -22.379150 -38.918818
    Oben rechts KachelX + 1 57389 KachelY 80941 -0.39054192 -0.67926152 -22.376404 -38.918818
    Unten links KachelX 57388 KachelY + 1 80942 -0.39058986 -0.67929882 -22.379150 -38.920955
    Unten rechts KachelX + 1 57389 KachelY + 1 80942 -0.39054192 -0.67929882 -22.376404 -38.920955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67926152--0.67929882) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dl = 237.638300000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67926152--0.67929882) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dr = 237.638300000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.67926152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.778036857755414 × 6371000     		do = 237.632483027341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.67929882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.778013424659256 × 6371000     		du = 237.625325956607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67926152)-sin(-0.67929882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778036857755414-0.778013424659256)×R²
    abs(-0.39054192--0.39058986)×2.3433096157599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3433096157599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3433096157599e-05×40589641000000     		ar = 56469.7289009119m²