Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57388 / 80938
↖ ↑ ↗
← S 38.912407°
W 22.379150°		 ← 237.65 m → S 38.912407°
W 22.376404°		 →
↑
237.64 m
↓
↑
237.64 m
↓
S 38.914545°
W 22.379150°		 ← 237.65 m →
56 475 m²		 S 38.914545°
W 22.376404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437839508056641 y=0.617511749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437839508056641 × 217)
    floor (0.437839508056641 × 131072)
    floor (57388.5)     		tx = 57388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617511749267578 × 217)
    floor (0.617511749267578 × 131072)
    floor (80938.5)     		ty = 80938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57388 / 80938 ti = "17/57388/80938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57388/80938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57388 ÷ 217
    57388 ÷ 131072     		x = 0.437835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80938 ÷ 217
    80938 ÷ 131072     		y = 0.617507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.12432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39058986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.235015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.738324127948105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39058986} λ = -0.39058986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738324127948105))-π/2
    2×atan(0.477914167770521)-π/2
    2×0.445823348946704-π/2
    0.891646697893407-1.57079632675     		φ = -0.67914963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39058986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.379150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67914963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.912407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57388 KachelY 80938 -0.39058986 -0.67914963 -22.379150 -38.912407
    Oben rechts KachelX + 1 57389 KachelY 80938 -0.39054192 -0.67914963 -22.376404 -38.912407
    Unten links KachelX 57388 KachelY + 1 80939 -0.39058986 -0.67918693 -22.379150 -38.914545
    Unten rechts KachelX + 1 57389 KachelY + 1 80939 -0.39054192 -0.67918693 -22.376404 -38.914545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67914963--0.67918693) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dl = 237.638300000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67914963--0.67918693) × R
    3.73000000000179e-05 × 6371000     		dr = 237.638300000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.67914963) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.778107144267591 × 6371000     		do = 237.653950337335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39058986--0.39054192) × cos(-0.67918693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.778083714418666 × 6371000     		du = 237.646794258389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67914963)-sin(-0.67918693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778107144267591-0.778083714418666)×R²
    abs(-0.39054192--0.39058986)×2.34298489253382e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34298489253382e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34298489253382e-05×40589641000000     		ar = 56474.8304738481m²