Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57387 / 80937
↖ ↑ ↗
← S 38.910270°
W 22.381897°		 ← 237.66 m → S 38.910270°
W 22.379150°		 →
↑
237.64 m
↓
↑
237.64 m
↓
S 38.912407°
W 22.381897°		 ← 237.65 m →
56 477 m²		 S 38.912407°
W 22.379150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437831878662109 y=0.617504119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437831878662109 × 217)
    floor (0.437831878662109 × 131072)
    floor (57387.5)     		tx = 57387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617504119873047 × 217)
    floor (0.617504119873047 × 131072)
    floor (80937.5)     		ty = 80937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57387 / 80937 ti = "17/57387/80937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57387/80937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57387 ÷ 217
    57387 ÷ 131072     		x = 0.437828063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80937 ÷ 217
    80937 ÷ 131072     		y = 0.617500305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437828063964844 × 2 - 1) × π
    -0.124343872070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39063780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617500305175781 × 2 - 1) × π
    -0.235000610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.738276191048485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39063780} λ = -0.39063780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738276191048485))-π/2
    2×atan(0.477937078043127)-π/2
    2×0.445841999249535-π/2
    0.89168399849907-1.57079632675     		φ = -0.67911233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39063780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.381897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67911233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.910270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57387 KachelY 80937 -0.39063780 -0.67911233 -22.381897 -38.910270
    Oben rechts KachelX + 1 57388 KachelY 80937 -0.39058986 -0.67911233 -22.379150 -38.910270
    Unten links KachelX 57387 KachelY + 1 80938 -0.39063780 -0.67914963 -22.381897 -38.912407
    Unten rechts KachelX + 1 57388 KachelY + 1 80938 -0.39058986 -0.67914963 -22.379150 -38.912407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67911233--0.67914963) × R
    3.72999999999069e-05 × 6371000     		dl = 237.638299999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67911233--0.67914963) × R
    3.72999999999069e-05 × 6371000     		dr = 237.638299999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39063780--0.39058986) × cos(-0.67911233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.778130573033944 × 6371000     		do = 237.661106085361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39063780--0.39058986) × cos(-0.67914963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.778107144267591 × 6371000     		du = 237.65395033706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67911233)-sin(-0.67914963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778130573033944-0.778107144267591)×R²
    abs(-0.39058986--0.39063780)×2.342876635264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.342876635264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.342876635264e-05×40589641000000     		ar = 56476.5309926938m²