Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57386 / 84458
↖ ↑ ↗
← S 46.031296°
W 22.384643°		 ← 212 m → S 46.031296°
W 22.381897°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 46.033203°
W 22.384643°		 ← 211.99 m →
44 949 m²		 S 46.033203°
W 22.381897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437824249267578 y=0.644367218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437824249267578 × 217)
    floor (0.437824249267578 × 131072)
    floor (57386.5)     		tx = 57386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644367218017578 × 217)
    floor (0.644367218017578 × 131072)
    floor (84458.5)     		ty = 84458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57386 / 84458 ti = "17/57386/84458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57386/84458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57386 ÷ 217
    57386 ÷ 131072     		x = 0.437820434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84458 ÷ 217
    84458 ÷ 131072     		y = 0.644363403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437820434570312 × 2 - 1) × π
    -0.124359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39068573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644363403320312 × 2 - 1) × π
    -0.288726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.907062014610703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39068573} λ = -0.39068573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907062014610703))-π/2
    2×atan(0.403708573271145)-π/2
    2×0.38369932896571-π/2
    0.767398657931421-1.57079632675     		φ = -0.80339767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39068573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.384643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80339767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.031296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57386 KachelY 84458 -0.39068573 -0.80339767 -22.384643 -46.031296
    Oben rechts KachelX + 1 57387 KachelY 84458 -0.39063780 -0.80339767 -22.381897 -46.031296
    Unten links KachelX 57386 KachelY + 1 84459 -0.39068573 -0.80343095 -22.384643 -46.033203
    Unten rechts KachelX + 1 57387 KachelY + 1 84459 -0.39063780 -0.80343095 -22.381897 -46.033203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80339767--0.80343095) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80339767--0.80343095) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39068573--0.39063780) × cos(-0.80339767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.694265353323811 × 6371000     		do = 212.002277649756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39068573--0.39063780) × cos(-0.80343095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.694241400686859 × 6371000     		du = 211.994963423912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80339767)-sin(-0.80343095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694265353323811-0.694241400686859)×R²
    abs(-0.39063780--0.39068573)×2.39526369518739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39526369518739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39526369518739e-05×40589641000000     		ar = 44949.4060808764m²