Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57386 / 42430
↖ ↑ ↗
← N 53.438991°
W 22.384643°		 ← 181.90 m → N 53.438991°
W 22.381897°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
N 53.437355°
W 22.384643°		 ← 181.90 m →
33 098 m²		 N 53.437355°
W 22.381897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437824249267578 y=0.323719024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437824249267578 × 217)
    floor (0.437824249267578 × 131072)
    floor (57386.5)     		tx = 57386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323719024658203 × 217)
    floor (0.323719024658203 × 131072)
    floor (42430.5)     		ty = 42430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57386 / 42430 ti = "17/57386/42430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57386/42430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57386 ÷ 217
    57386 ÷ 131072     		x = 0.437820434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42430 ÷ 217
    42430 ÷ 131072     		y = 0.323715209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437820434570312 × 2 - 1) × π
    -0.124359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39068573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323715209960938 × 2 - 1) × π
    0.352569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10763000262102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39068573} λ = -0.39068573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10763000262102))-π/2
    2×atan(3.02717548809071)-π/2
    2×1.25174133862696-π/2
    2.50348267725393-1.57079632675     		φ = 0.93268635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39068573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.384643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93268635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.438991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57386 KachelY 42430 -0.39068573 0.93268635 -22.384643 53.438991
    Oben rechts KachelX + 1 57387 KachelY 42430 -0.39063780 0.93268635 -22.381897 53.438991
    Unten links KachelX 57386 KachelY + 1 42431 -0.39068573 0.93265779 -22.384643 53.437355
    Unten rechts KachelX + 1 57387 KachelY + 1 42431 -0.39063780 0.93265779 -22.381897 53.437355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93268635-0.93265779) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dl = 181.955759999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93268635-0.93265779) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dr = 181.955759999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39068573--0.39063780) × cos(0.93268635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595678396023044 × 6371000     		do = 181.897564236852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39068573--0.39063780) × cos(0.93265779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595701335830062 × 6371000     		du = 181.904569182891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93268635)-sin(0.93265779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595678396023044-0.595701335830062)×R²
    abs(-0.39063780--0.39068573)×2.2939807017841e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2939807017841e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2939807017841e-05×40589641000000     		ar = 33097.9468403267m²