Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57385 / 84452
↖ ↑ ↗
← S 46.019853°
W 22.387390°		 ← 212.09 m → S 46.019853°
W 22.384643°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 46.021761°
W 22.387390°		 ← 212.08 m →
44 982 m²		 S 46.021761°
W 22.384643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437816619873047 y=0.644321441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437816619873047 × 217)
    floor (0.437816619873047 × 131072)
    floor (57385.5)     		tx = 57385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644321441650391 × 217)
    floor (0.644321441650391 × 131072)
    floor (84452.5)     		ty = 84452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57385 / 84452 ti = "17/57385/84452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57385/84452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57385 ÷ 217
    57385 ÷ 131072     		x = 0.437812805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84452 ÷ 217
    84452 ÷ 131072     		y = 0.644317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437812805175781 × 2 - 1) × π
    -0.124374389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39073367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.28863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.906774393212982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39073367} λ = -0.39073367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906774393212982))-π/2
    2×atan(0.403824705195474)-π/2
    2×0.383799182085592-π/2
    0.767598364171184-1.57079632675     		φ = -0.80319796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39073367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.387390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80319796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.019853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57385 KachelY 84452 -0.39073367 -0.80319796 -22.387390 -46.019853
    Oben rechts KachelX + 1 57386 KachelY 84452 -0.39068573 -0.80319796 -22.384643 -46.019853
    Unten links KachelX 57385 KachelY + 1 84453 -0.39073367 -0.80323125 -22.387390 -46.021761
    Unten rechts KachelX + 1 57386 KachelY + 1 84453 -0.39068573 -0.80323125 -22.384643 -46.021761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80319796--0.80323125) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80319796--0.80323125) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39073367--0.39068573) × cos(-0.80319796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694409074584279 × 6371000     		do = 212.09040546748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39073367--0.39068573) × cos(-0.80323125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69438511936602 × 6371000     		du = 212.083088927216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80319796)-sin(-0.80323125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694409074584279-0.69438511936602)×R²
    abs(-0.39068573--0.39073367)×2.3955218259708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3955218259708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3955218259708e-05×40589641000000     		ar = 44981.6033482976m²