Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57384 / 84804
↖ ↑ ↗
← S 46.687131°
W 22.390137°		 ← 209.52 m → S 46.687131°
W 22.387390°		 →
↑
209.48 m
↓
↑
209.48 m
↓
S 46.689015°
W 22.390137°		 ← 209.51 m →
43 888 m²		 S 46.689015°
W 22.387390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437808990478516 y=0.647006988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437808990478516 × 217)
    floor (0.437808990478516 × 131072)
    floor (57384.5)     		tx = 57384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647006988525391 × 217)
    floor (0.647006988525391 × 131072)
    floor (84804.5)     		ty = 84804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57384 / 84804 ti = "17/57384/84804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57384/84804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57384 ÷ 217
    57384 ÷ 131072     		x = 0.43780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84804 ÷ 217
    84804 ÷ 131072     		y = 0.647003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39078161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.29400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.923648181879242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39078161} λ = -0.39078161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923648181879242))-π/2
    2×atan(0.397067819909247)-π/2
    2×0.377976082677293-π/2
    0.755952165354586-1.57079632675     		φ = -0.81484416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39078161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.390137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81484416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.687131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57384 KachelY 84804 -0.39078161 -0.81484416 -22.390137 -46.687131
    Oben rechts KachelX + 1 57385 KachelY 84804 -0.39073367 -0.81484416 -22.387390 -46.687131
    Unten links KachelX 57384 KachelY + 1 84805 -0.39078161 -0.81487704 -22.390137 -46.689015
    Unten rechts KachelX + 1 57385 KachelY + 1 84805 -0.39073367 -0.81487704 -22.387390 -46.689015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81484416--0.81487704) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dl = 209.478480000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81484416--0.81487704) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dr = 209.478480000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39078161--0.39073367) × cos(-0.81484416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.685981793885028 × 6371000     		do = 209.516497023967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39078161--0.39073367) × cos(-0.81487704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.685957869411238 × 6371000     		du = 209.509189873856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81484416)-sin(-0.81487704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685981793885028-0.685957869411238)×R²
    abs(-0.39073367--0.39078161)×2.39244737897382e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39244737897382e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39244737897382e-05×40589641000000     		ar = 43888.4319901967m²