Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57383 / 85473
↖ ↑ ↗
← S 47.932907°
W 22.392883°		 ← 204.59 m → S 47.932907°
W 22.390137°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 47.934747°
W 22.392883°		 ← 204.59 m →
41 866 m²		 S 47.934747°
W 22.390137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437801361083984 y=0.652111053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437801361083984 × 217)
    floor (0.437801361083984 × 131072)
    floor (57383.5)     		tx = 57383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652111053466797 × 217)
    floor (0.652111053466797 × 131072)
    floor (85473.5)     		ty = 85473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57383 / 85473 ti = "17/57383/85473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57383/85473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57383 ÷ 217
    57383 ÷ 131072     		x = 0.437797546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85473 ÷ 217
    85473 ÷ 131072     		y = 0.652107238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437797546386719 × 2 - 1) × π
    -0.124404907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39082954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652107238769531 × 2 - 1) × π
    -0.304214477539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.95571796772506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39082954} λ = -0.39082954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95571796772506))-π/2
    2×atan(0.384535961010277)-π/2
    2×0.367104643372653-π/2
    0.734209286745307-1.57079632675     		φ = -0.83658704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39082954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.392883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83658704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.932907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57383 KachelY 85473 -0.39082954 -0.83658704 -22.392883 -47.932907
    Oben rechts KachelX + 1 57384 KachelY 85473 -0.39078161 -0.83658704 -22.390137 -47.932907
    Unten links KachelX 57383 KachelY + 1 85474 -0.39082954 -0.83661916 -22.392883 -47.934747
    Unten rechts KachelX + 1 57384 KachelY + 1 85474 -0.39078161 -0.83661916 -22.390137 -47.934747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83658704--0.83661916) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dl = 204.636520000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83658704--0.83661916) × R
    3.21200000000799e-05 × 6371000     		dr = 204.636520000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39082954--0.39078161) × cos(-0.83658704) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.670000370691649 × 6371000     		do = 204.592673295043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39082954--0.39078161) × cos(-0.83661916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669976525718309 × 6371000     		du = 204.585391945578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83658704)-sin(-0.83661916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670000370691649-0.669976525718309)×R²
    abs(-0.39078161--0.39082954)×2.38449733392931e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38449733392931e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38449733392931e-05×40589641000000     		ar = 41866.3876691322m²